Dodecàedre

Dodecàedre regular

Un dodecàedre o dodecaedre (ambdues variants són acceptades) és un políedre regular de dotze cares.

El dodecàedre és regular quan està format per dotze pentàgons regulars. Té 20 vèrtexs i 30 arestes.

Àrea i volum

L'àrea A i el volum V d'un dodecàedre regular amb vèrtexs de longitud a són:

$A=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}{a}^2\approx 20.64572a^2$

$V=\frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})a^3\approx 7.6631189a^3$

Coordenades cartesianes

Els 20 vèrtexs d'un dodecàedre centrat a l'origen estan definits per les expressions següents:

(±1, ±1, ±1)

(0, ±1/φ, ±φ)

(±1/φ, ±φ, 0)

(±φ, 0, ±1/φ)

on φ = (1+√5)/2 és la raó àuria. La longitud de l'aresta és 2/φ = −1+√5.

L'angle diedre d'un dodecàedre és 2arctan(φ) o, aproximadament, 116,565 graus.

Usos

• Els dodecàedres s'usen com a daus en determinats jocs de rol. Potser aquesta era la funció de l'anomenat dodecàedre romà, que es refereix a figures trobades per Europa, especialment a prop de poblats gals, d'origen i ús desconeguts.
• Per a Plató és el símbol de la divisió de l'univers.
• Apareix a l'obra L'últim sopar de Dalí