Conjunt connex

Un conjunt connex (connexió) per a un espai topològic és molt natural. Així, es diu que un espai és disconnex si és possible dividir-lo en dos conjunts oberts amb intersecció nul·la. En cas contrari, es diu que l'espai és connex.

Definició

Siga $(X,𝒯)$ un espai topològic on $𝒯$ n'és la topologia.

Direm que un subconjunt $C\subseteq X$ és disconnex si $\mathrm{\exists }A,B\in {𝒯}_{\mathcal{|}𝒞}$ tal que $A\ne \varnothing ,B\ne \varnothing ,A\cap B=\varnothing iA\cup B=C$.

Es diu doncs que C és connex en el cas que no sigui disconnex

Exemples

Conjunts connexos

• Les esferes $S^n,n\ge 1,$ són connexes
• Un punt en ${ℝ}^n$ és connex
• Un nus és un conjunt connex en $S^3$
• Un tor és un conjunt connex en ${ℝ}^3$
• En $ℝ$, un conjunt és connex si i només si és un interval (matemàtiques)
• El complementari d'un punt en ${ℝ}^n,n\ge 2,$ és connex

Conjunts disconnexos

• El complementari d'un punt en $ℝ$
• El conjunt format per la unió de dues esferes disjuntes a ${ℝ}^n$
• Un enllaç de $n$ components (nusos)

Propietats dels conjunts connexos

Es compleix que si $(X,𝒯)$ és un espai topològic connex, qualsevol espai homeomorfa a ell també ho serà. Aquesta propietat ens dona una caracterització molt útil dels conjunts connexos: $C\subseteq X$ és un conjunt connex si i només si per a tota funció $f:C\to \{0,1\}$ contínua, es compleix que $f$ és una funció constant, on a $\{0,1\}$ (topologia discreta).

La imatge per una aplicació contínua d'un conjunt connex és connexa.

Una altra propietat interessant dels conjunts connexos és la següent: Si $(X_i,{𝒯}_i{)}_{i\in I}$ és una família d'espais topològics connexos (amb $I$ un conjunt d'índexs de qualsevol cardinalitat), llavors $(\prod _{i\in I}{X}_i,𝒯)$ també és connex, on $𝒯$ és la topologia producte.

Finalment, si $X$ no és connex, és a dir, si hi ha oberts $U,V$ disjunts no buits tals que la seva unió és $X$, és fàcil veure que cada obert serà el complement de l'altre, després seran complements d'un obert, i per tant, seran tancats. És a dir, seran conjunts clopen. Per això, una altra manera de caracteritzar la connexitat és a dir: $X$ serà connex si i només si els únics clopen són $Xi\varnothing$ (on tots dos conjunts són sempre clopen).

Connexió per arcs

Plantilla:Article principal Direm que un conjunt $X$ és connex per camins o arc connex si donats $x_1,x_2\in X$ hi ha un camí continu $\alpha :[0,1]\to X$ tal que $\alpha (0)=x_1$ i $\alpha (1)=x_2$.

Pinta del topòleg

La connexitat per camins implica connexitat, però el recíproc no és cert en general. Un contraexemple molt típic és l'anomenat pinta del topòleg, $X=A\cup B$, on $A=\{(0,1)\}$ i $B=([0,1]\times \{0\})\cup (\{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}\times [0,1])$. $X$ és connex, però no connex per camins.

Ser connex per camins no és una propietat hereditària (és a dir, si un conjunt és connex per camins, qualsevol subconjunt d'aquest no és necessàriament connex per camins). Però, ser connex per camins és una propietat topològica (és a dir, la imatge mitjançant una aplicació contínua d'un conjunt connex per camins és connexa per camins).

Components connexes

Donat un espai topològic $(X,𝒯)$ disconnex s'anomena component connexa, a cada un dels conjunts maximals connexos. És a dir un subconjunt $I\in 𝒯$ és un component connexa si es compleixen aquestes dues condicions:

1. $I\in 𝒯$ és connex.
2. Qualsevol conjunt $Z$ que conté pròpiament a $I$ és disconex.

Es compleix que les components connexes de $X$ formen una partició de $X$.