Desigualtat de Txebixov

Plantilla:Falten referències La desigualtat de Txebixov és un resultat de la teoria de la mesura amb grans aplicacions a l'estudi de la probabilitat i l'estadística.

Aquest teorema pren el seu nom en honor de Pafnuti Txebixov, que proporcionà la primera demostració de la desigualtat formulada per Irénée-Jules Bienaymé.

Enunciat

Enunciat en el context de la teoria de la mesura

Sigui (X, Σ, μ) un espai mesurable i sigui f una funció real mesurable definida a X. Aleshores, per a tot nombre real t > 0,

$\mu (\{x\in X:|f(x)|\ge t\})\le \frac{1}{t^2}\underset{X}{\int }{f}^{2}d\mu .$

De forma més general, si g és una funció real mesurable, no-negativa i creixent al rang de ƒ, aleshores

$\mu (\{x\in X:f(x)\ge t\})\le \frac{1}{g(t)}\underset{X}{\int }g\circ fd\mu .$

Podem obtenir la primera de les formulacions definint g(t) com

$g(t)=\{\begin{array}{cc}{t}^2& \text{si }t\ge 0\\ 0& \text{en cas contrari,}\end{array}$

i agafant |ƒ| en lloc de ƒ a la segona expressió.

Enunciat probabilistic

En tant que un espai de probabilitats és un espai de mesura 1, retrobem un cas particular de la Desigualtat de Txebixef:

Sigui X una variable aleatòria no-negativa i $f:{ℝ}_{+}\to {ℝ}_{+}$ una funció creixent tal que $E[f(X)]<\mathrm{\infty }$ (on $E[f(X)]$ indica l'esperança de la variable aleatòria f(X)). Aleshores, per tot nombre real a es té:

$f(a)P\{X\ge a\}\le E[f(X)]$

Una versió menys general d'aquesta desigualtat que trobem a diverses obres de referència és

$P\{|X-E[X]|\ge a\}\le \frac{{\sigma }^2(X)}{a^2}$

on $\sigma$ indica la desviació típica de 'X'.