Teorema de convolució

En matemàtica, el teorema de convolució estableix que en determinades circumstàncies, la Transformada de Fourier d'una convolució és el producte punt a punt de les transformades de Fourier. En altres paraules, la convolució en un domini (per exemple el domini temporal) és equivalent al producte punt a punt en l'altre domini (és a dir domini espectral).

Siguin f i g dues funcions la convolució s'expressa amb $f*g$. (Nota: l'asterisc en aquest context, indica convolució i no multiplicació, de vegades s'utilitza també el símbol $\otimes$). Sigui $ℱ$ l'operador de la transformada de Fourier, de manera que $ℱ[f]$ i $ℱ[g]$ són les transformades de Fourier de f i g , respectivament.

Llavors

$ℱ[f*g]=\sqrt{2\pi }(ℱ[f])\cdot (ℱ[g])$

on "·" indica producte punt. També es pot afirmar que:

$ℱ[f*g]=\sqrt{2\pi }(ℱ[f])\cdot (ℱ[g])$

Aplicant la transformada inversa de Fourier ${ℱ}^{-1}$, podem escriure:

$f*g=\sqrt{2\pi }{ℱ}^{-1}[ℱ[f]\cdot ℱ[g]]$

Demostració

La demostració funciona per normalitzacions unitàries i no unitàries de la transformada de Fourier, però en la versió unitària té factors extres de $\sqrt{2\pi }$ que aquí, són inconvenients. Siguin $f,g\in L^1({ℝ}^n)$

Siguin $F$ la transformada de Fourier de $f$ i $G$ la transformada de Fourier de $g$:

$F(\omega )=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }dx$

$G(\omega )=\underset{{ℝ}^n}{\int }g(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }dx$.

Sigui $h$ la convolució de $f$ i $g$

$h(z)=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)g(z-x)\mathrm{d}x.$

Nota:

$\int \int |f(z)g(xz)|dxdz=\int |f(z)|\int |g(zx)|dxdz=\int |f(z)|\Vert g{\Vert }_{1}dz=\Vert f{\Vert }_1\Vert g{\Vert }_1.$

Pel teorema de Fubini tenim que $h\in L^1({ℝ}^n)$, així que la seva transformada de Fourier està definida.

Sigui $H$ la transformada de Fourier de $h$:

$H(\omega )=\underset{{ℝ}^n}{\int }h(z)e^{-2\pi iz\cdot \omega }dz=\underset{{ℝ}^n}{\int }\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)g(z-x)dx{e}^{-2\pi iz\cdot \omega }dz.$

Tenint en compte que $|f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }|=|f(x)g(z-x)|$ i gràcies a l'argument d'abans podem aplicar novament el teorema de Fubini:

$H(\omega )=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)(\underset{{ℝ}^n}{\int }g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }dz)dx.$

Substituint $y=z-x$; tenim $dy=dz$, i per tant:

$H(\omega )=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)(\underset{{ℝ}^n}{\int }g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \omega }dy)dx$

$=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }(\underset{{ℝ}^n}{\int }g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }dy)dx$

$=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }dx\underset{{ℝ}^n}{\int }g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }dy.$

Aquestes dues integrals són les definicions de $F(\omega )$ i $G(\omega )$, així que:

$H(\omega )=F(\omega )\cdot G(\omega ).$

Que és el que volíem demostrar.

Bibliografia addicional

• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation