Relació d'ordre

Sigui $A$ un conjunt qualsevol. Una relació en $A$ és un criteri que ens permet dir si dos elements qualssevol de $A$ satisfan la relació o no. Una relació és relació d'ordre si compleix les propietats reflexiva, antisimètrica i transitiva.

La relació d'ordre a un conjunt $A$ fa que aquest sigui un conjunt ordenat, de vegades dit parcialment ordenat, per remarcar que no compleix la relació de totalitat.

Els conjunts parcialment ordenats per una relació binària que a més és total, es diuen conjunts totalment ordenats.

Definicions

Definició de relació d'ordre

Una relació d'ordre $\sim$ en un conjunt $A$ és una relació que, $\mathrm{\forall }a,b,c\in A$ compleix les següents propietats:

• Propietat reflexiva: $\mathrm{\forall }a\in A,a\sim a$.
• Propietat antisimètrica: $a\sim b\wedge b\sim a⟹a=b,$.
• Propietat transitiva:$a\sim b,b\sim c⟹a\sim c$.

Definició de relació d'ordre total

Una relació d'ordre total $\sim$ en un conjunt $A$ és una relació que és d'ordre i que compleix la propietat de totalitat d'una relació binària:

• Propietat de totalitat: $\mathrm{\forall }{a}_1,a_2\in A,a_1\sim a_2\vee a_2\sim a_1$.

Exemples

• La relació de divisibilitat | en el conjunt $\mathbb{N}$ dels nombres naturals és una relació d'ordre: n|m si la divisió de n entre m té residu 0. Clarament és reflexiva, antisimètrica i transitiva.

• La relació d'igualtat entre els elements d'un conjunt també és una relació d'ordre (no total si el conjunt té almenys dos elements).

• La relació a≤b és una relació d'ordre total pels conjunts dels naturals ℕ, enters ℤ, racionals, ℚ, i reals ℝ. També és d'ordre total la relació ≤, com es pot comprovar fàcilment.

Elements notables dels conjunts ordenats

Als conjunts ordenats es poden definir una sèrie d'elements amb propietats particulars. L'element mínim és un exemple: a serà element mínim de $A$ si es verifica que $\mathrm{\forall }b\in Aa\le b$.

L'element màxim es defineix anàlogament: a serà element màxim de $A$ si es verifica que $\mathrm{\forall }b\in Aa\ge b$.

Història

Els conjunts ordenats apareixen a moltes branques de les matemàtiques. Tot i així, no se'n troben referències explícites fins al Plantilla:Segle. George Boole fou el més important, juntament amb Charles Sanders Peirce, Richard Dedekind, i Ernst Schröder, que desenvoluparen diferents aspectes teòrics.

Vegeu també

• Relació
• Funcions i aplicacions
• Estructura algebraica