Suprem i ínfim (elements)

Un conjunt A de nombres reals (representats per cercles blaus), un conjunt de cotes superiors de A (cercles vermells), i el mínim de les fites superiors, el suprem de A (diamant vermell).

En matemàtiques, donat un subconjunt $S$ d'un conjunt parcialment ordenat $(P,<)$, el suprem de $S$, si existeix, és l'element mínim de $P$ que és major o igual a cada element de $S$. En altres paraules, és la mínima de les fites superiors de $S$. El suprem d'un conjunt $S$ comunament es denota $\sup (S)$. L'ínfim de $S$ si existeix, és l'element màxim de $P$ que és menor o igual que cada element de $S$. Per tant, el mínim és la major de les fites inferiors de $S$. L'ínfim es denota habitualment per $\inf (S)$.

Propietats

• Si el suprem o l'ínfim existeixen, llavors són únics.
• Un conjunt té màxim, si i només si conté al seu suprem. Un conjunt té mínim si i només si conté el seu ínfim.
• $\sup (A\cup B)=\max \{\sup (A),\sup (B)\}$, si és que aquests suprems existeixen.
• $\inf (A\cup B)=\min \{\inf (A),\inf (B)\}$, si ambdós ínfims existeixen.
• $\sup (A+B)=\sup (A)+\sup (B)$, on $A+B:=\{a+b|a\in A,b\in B\}$ denota la suma de Minkowski.
• D'igual manera, $\inf (A+B)=\inf (A)+\inf (B)$.

Exemples

• En el camp dels nombres reals, tot subconjunt no buit, fitat superiorment té suprem (el que es coneix com a axioma del suprem).
• $\sup \{1,2,3\}=3$.
• $\inf \{1,2,3\}=1$.
• $\sup \{x\in ℝ|0<x<1\}=\sup \{x\in ℝ|0\le x\le 1\}=1$.
• $\sup \{(-1{)}^n-\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}=1$.
• $\inf \{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}=0$.
• $\inf \{x\in {\mathbb{Q}}^{\mathbb{+}}|x^2<2\}=0$.

Vegeu també

• Roger Paman
• Element major i menor
• Element maximal i minimal

Referències

• Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition , McGraw-Hill, 1976.
• Supremum Plantilla:Webarchive (en PlanetMath.org )
• Plantilla:MathWorld