Relació transitiva

Exemple: Si a és més gran que b i b és més gran que c, llavors a és més gran que c.

Plantilla:Viquipèdia parlada En matemàtiques, la transitivitat és una propietat que pot tenir una relació binària. Una relació R sobre un conjunt A és transitiva quan es compleix que sempre que un element es relaciona amb un segon i aquest segon amb un tercer, llavors el primer també es relaciona amb el tercer.

Expressat més formalment:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in A:aRb\wedge bRc⟹aRc$

Exemples

Relacions d'ordre en els naturals

Un exemple de relació binària transitiva, en el conjunt $\mathbb{N}$ dels nombres naturals, és la relació «menor o igual que» ($\le$):

$\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{N}:a\le b\wedge b\le c⟹a\le c$

Per exemple:

$2,5,7\in \mathbb{N}:2\le 5\wedge 5\le 7⟹2\le 7$

En general les relacions d'ordre (ser menor, major, igual, menor o igual, major o igual) són transitives.

Divisibilitat de naturals

El mateix és cert amb la relació «divideix a», en el conjunt dels nombres naturals:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{N}:a|b\wedge b|c⟹a|c$

Per tot $a,b,c\in \mathbb{N}$, si a és divisor de b i b és divisor de c, llavors a és divisor de c. Per exemple, donat que 3|12 (3 divideix 12) i 12|48 (12 divideix 48), la transitivitat estableix que 3|48 (3 divideix 48).

Vegeu també

• Relació binària
• Relació d'equivalència
• Relació d'ordre