Polinomis de Txebixov

Plantilla:Falten referències En matemàtica, els polinomis de Txebixov, anomenats així en honor del matemàtic rus Pafnuti Txebixov, són dues famílies de polinomis ortogonals molt importants en teoria d'aproximació de funcions, ja que s'utilitzen les seves arrels (anomenades nodes de Txebixov) com a nodes d'interpolació.

Com s'ha dit anteriorment, hi ha dues classes de polinomis de Txebixov, els polinomis de primer tipus $T_n(x)$ i els de segon tipus $U_n(x)$ que guarden una relació molt estreta entre ells.

Definició

Hi ha dues maneres diferents de definir els polinomis de Txebixov: mitjançant relacions trigonomètriques o utilitzant una determinada recurrència. Primer ho farem trigonomètricament i llavors demostrarem la recurrència (tot i que també es podria fer a l'inrevés).

Primer tipus

A continuació definirem els polinomis de Txebixov de primer tipus. Encara que a primera vista pugui no semblar-ho, realment es tracta d'un conjunt de polinomis, com es veurà més clarament un cop donem la definició recurrent. Plantilla:Definició Per simplificar, podem suposar que $x=\cos \theta =\cosh \alpha$. Podem escriure, doncs, la següent relació: Plantilla:Equació Aquesta notació, pel fet de ser més simple, facilita molt els càlculs. A partir d'aquesta definició, podem molt fàcilment trobar una relació de recurrència que ens permetrà obtenir el polinomi n-èsim a partir dels dos anteriors; vegem-ho:

Plantilla:Demostració Ara que coneixem la recurrència, podem fàcilment trobar els diferents polinomis de Txebixov. Per exemple, per trobar el valor de $T_2(x)$ fem el següent: Plantilla:Equació Més endavant donarem una taula amb els primers polinomis de Txebixov.

Segon tipus

Tal com hem fet abans, començarem donant una definició trigonomètrica dels polinomis de Txebixov de segon tipus, i encara que sigui menys intuïtiva, ens serà útil més endavant: Plantilla:Definició De la mateixa manera que hem vist, podem trobar una recurrència, que ens facilitarà molt les coses en algunes circumstàncies: Plantilla:Definició Plantilla:Demostració Es veu clarament en la forma recurrent que la relació entre els polinomis de primer i segon tipus és realment estreta, donat que l'única diferència que presenten és en el terme inicial $U_1(x)=2x$, i la fórmula de la recurrència és la mateixa.

Ortogonalitat

Sigui $L_w^2(I)$ l'espai de les funcions de quadrat integrable sobre l'interval $I$, podem definir un producte escalar entre dues funcions de la següent manera: Plantilla:Equació On $w(x)$ és una funció de ponderació. En aquestes circumstàncies, direm que dues funcions són ortogonals respecte al pes $w(x)$, si $⟨f,g{⟩}_w=0$.

Els polinomis de Txebixov de primera classe són ortogonals en l'interval [−1,1] respecte al pes Plantilla:Equació i a més a més es pot demostrar que Plantilla:Equació De manera molt semblant, els polinomis de segona espècie són ortogonals respecte al pes Plantilla:Equació en l'interval [−1,1], i a més a més tenim: Plantilla:Equació

Exemples

Els primers polinomis de Txebixov del primer tipus en el domini Plantilla:Nowrap: The flat T₀, T₁, T₂, T₃, T₄ and T₅.

Els primers polinomis de Txebixov del primer tipus són:

$T_0(x)=1$

$T_1(x)=x$

$T_2(x)=2x^2-1$

$T_3(x)=4x^3-3x$

$T_4(x)=8x^4-8x^2+1$

$T_5(x)=16x^5-20x^3+5x$

$T_6(x)=32x^6-48x^4+18x^2-1$

$T_7(x)=64x^7-112x^5+56x^3-7x$

$T_8(x)=128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1$

$T_9(x)=256x^9-576x^7+432x^5-120x^3+9x.$

$T_{10}(x)=512x^{10}-1280x^8+1120x^6-400x^4+50x^2-1.$

$T_{11}(x)=1024x^{11}-2816x^9+2816x^7-1232x^5+220x^3-11x.$

Els primers polinomis de Txebixov del segon tipus en el domini −1 < x < 1: The flat U₀, U₁, U₂, U₃, U₄ and U₅. Tot i quedar fora de la gràfica, Plantilla:Nowrap and Plantilla:Nowrap.

Els primers polinomis de Txebixov del segon tipus són:

$U_0(x)=1$

$U_1(x)=2x$

$U_2(x)=4x^2-1$

$U_3(x)=8x^3-4x$

$U_4(x)=16x^4-12x^2+1$

$U_5(x)=32x^5-32x^3+6x$

$U_6(x)=64x^6-80x^4+24x^2-1$

$U_7(x)=128x^7-192x^5+80x^3-8x$

$U_8(x)=256x^8-448x^6+240x^4-40x^2+1$

$U_9(x)=512x^9-1024x^7+672x^5-160x^3+10x.$

Vegeu també

• Nodes de Txebixov