Matriu densitat

La matriu densitat, o operador densitat és una entitat matemàtica introduïda per John von Neumann. Permet resumir en una sola matriu tot el conjunt possible dels estats quàntics d'un sistema físic donat a un instant donat, combinant així la mecànica quàntica i la física estadística.

Definició

El concepte de matriu densitat generalitza el de vector d'estat a sistemes barreja. Donat un vector d'estat que pertany a un espai de Hilbert $H$, considerem el conjunt d'aplicacions lineals $L(H)$ que hi actuen. Si $\{|i⟩{\}}_{i=1}^d\in {ℂ}^d$ és una base ortonormal de $H$ i $M\in L(H)$, podem expressar $M$ com a una matriu amb elements $M_{ij}=⟨i|M|j⟩$.

A més, si considerem només les aplicacions lineals que projecten estats vàlids sobre estats vàlids, trobem que un operador $\rho \in L(H)$ ha de complir les següents propietats:

1. Ha de ser hermític: $\rho ={\rho }^{†}$.
2. Ha de ser semidefinit positiu: $\rho \ge 0$.
3. Ha de tenir traça unitària: $Tr(\rho )=1$

El conjunt $D(H)\subset L(H)$ que compleix aquestes propietats és el conjunt d'operadors densitat.

Estat pur

L'estat és pur si es pot descriure amb un sol vector en l'espai de Hilbert $|\psi ⟩\in H$.

En aquest cas, l'operador densitat és simplement l'operador de projecció de $L(H)$ sobre l'espai generat per $|\psi ⟩$, amb rang 1:

$\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$

Estat mixt

Un estat és mixt quan no es correspon amb un únic vector d'estat. Sempre, però, es pot expressar com a una suma ponderada d'estats:

$\rho =\sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|\ne |\psi ⟩⟨\psi |$

Cal remarcar que els $|{\psi }_i⟩$ poden estar expressats en qualsevol base, de manera que $\rho$ en general no és diagonal.

Classificació

Si considerem un estat general $\rho =\sum _{i,j}{\rho }_{ij}|i⟩⟨j|$, emprant les propietats de l'operador densitat podem determinar que es pot diagonalitzar de manera que $\rho =\sum _i{\lambda }_i|u_i⟩⟨u_i|$, on $\{{\lambda }_i\}$ i $\{u_i\}$ són respectivament els autovalors i els autovectors de $\rho$. A més, ${\lambda }_i\ge 0$ i $\sum _i{\lambda }_i=1$, de manera que els valors propis es poden interpretar com a probabilitats. $\rho$ és una col·lectivitat d'estats descrits per $\{u_i\}$ on obtenim cadascun amb probabilitat ${\lambda }_i$.

D'això en podem concloure que els estats purs corresponen a un cas concret d'estats mixts, pels quals un dels ${\lambda }_i$ pren valor unitat i la resta són zero.

Pel contrari, un estat serà mixt si més d'un ${\lambda }_i$ és diferent a zero.

En termes del rang de $\rho$, l'estat és pur si $\text{rang}(\rho )=1$ i mixt en la resta de casos.

Convexitat

El conjunt de matrius densitat $D(H)$ és convex: ${\rho }_1,{\rho }_2\in D(H)⟹(1-p){\rho }_1+p{\rho }_2\in D(H)\mathrm{\forall }p\in [0,1]$.

El conjunt d'estats purs correspon als vèrtexs de $D(H)$, ja que per definició els estats purs no es poden expressar com a combinació convexa de dos altres estats.

Evolució amb el temps

L'evolució temporal del vector d'estat vé donada per l'equació de Schrödinger depenent del temps:

$\hat{H}|\mathrm{\Psi }(t)⟩=i\hslash \frac{d}{dt}|\mathrm{\Psi }(t)⟩$

També es pot expressar en termes de la matriu densitat, obtenint llavors l'equació de Liouville-Von Neumann:

$[\hat{H},\hat{\rho }]=i\hslash \frac{d}{dt}\hat{\rho }$

Quantificació del nivell de barreja

La puresa d'un estat $\rho$ es defineix com a:

$\text{puresa}(\rho )=\text{tr}({\rho }^2)=\sum _i{\lambda }_i^2$

Amb ${\lambda }_i$ els autovalors de $\rho$. Per a un estat pur, la puresa és 1, i per a un estat mixt, $1/d\le \text{puresa}(\rho )\le 1$, on $d$ és la dimensió de l'espai de Hilbert.

Similarment, es pot definir l'entropia de von Neumann:

$S=-\text{Tr}(\rho {\log }_2(\rho ))=-\sum _i{\lambda }_i{\log }_2({\lambda }_i)$

L'entropia d'un estat pur és nul·la, car no hi ha cap incertesa sobre l'estat del sistema. Es pot demostrar que, per a un estat mixt, $0\le S(\rho )\le {\log }_2(d)$.

La màxima puresa i mínima entropia corresponen als estats purs, mentre que la mínima puresa i màxima entropia s'assoleixen amb l'estat $\rho =𝕀/d$, amb $𝕀$ la matriu identitat. Aquest darrer estat s'anomena estat màximament barrejat.