Lema dels nuclis

En àlgebra lineal, el lema dels nuclis, també anomenat teorema de descomposició dels nuclis, és un resultat sobre reduccions d'endomorfismes. En un espai vectorial E sobre un cos K, si un operador u de E s'anul·la per un polinomi P(X) a coeficients dins K, aleshores aquest lema afirma que existeix una descomposició de E com a suma directa de subespais invariants per u. Aquests subespais invariants es defineixen com a nuclis de polinomis en u, i les projeccions corresponents també són polinomis en u.

La demostració trasllada la identitat de Bézout per polinomis a subespais vectorials. Com a resultat fonamental, el lema dels nuclis porta a la descomposició de Jordan–Chevalley i a la forma canònica de Jordan. De forma més simple, el lema dels nuclis apunta que un operador u és diagonalitzable si s'anul·la per un polinomi amb arrels simples.

Demostració

Reducció al cas n = 2

Primerament, mostrarem per recurrència sobre $n$ que, si el lema és cert per $n=2$, llavors també és cert per tot $n$. Pel cas $n=1$ no hi ha res a demostrar (la projecció mencionada és la identitat, que és $Q(f)$ amb Q el polinomi constant 1). Si $n>2$, escrivim $Q=P_1{P}_2\cdots P_{n-1}$ i llavors ${\prod }_{i=1}^n{P}_i=Q{P}_n$, d'on $Q$ és primer amb $P_n$ (ja que, per la identitat de Bézout per polinomis, cadascun dels factors $P_i$ de $Q$ és invertible mòdul $P_n$ i, per tant, també ho és el seu producte $Q$). El cas $n=2$ ens diu que $\ker (Q{P}_n)(f)=\ker Q(f)\oplus \ker P_n(f)$, amb les projeccions corresponents donades per polinomis en l'endomorfisme f; la hipòtesi d'inducció ens permet descompondre $\ker Q(f)$ com a suma directa dels $\ker P_i(f)$ per $i=1,\dots ,n-1$, i les projeccions de $\ker Q(f)$ sobre aquests factors es componen amb la projecció sobre $\ker Q(f)$ per donar finalment les projeccions desitjades $\ker (Q{P}_n)(f)\to \ker P_i(f)$.

Cas n = 2

Es pot veure de forma senzilla que l'espai $V=\ker (P_1{P}_2)(f)$ conté els espais $V_i=\ker P_i(f)$ per $i=1,2$ i, per tant, també conté la seva suma; ara es tracta de demostrar que la suma $V_1+V_2$ és directa, i que és igual a tot V (amb les projeccions polinòmiques en $f$). Per la identitat de Bézout, existeixen $Q_1,Q_2\in K[X]$ tals que $P_1{Q}_1+P_2{Q}_2=1$ i, per tant, $(P_1{Q}_1+P_2{Q}_2)(f)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ (la funció identitat de $E$). Notem que

${\pi }_i=(P_j{Q}_j)(f){\mid }_V\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(V)\mathrm{o}\mathrm{n}\{i,j\}=\{1,2\}$,

i llavors ${\pi }_1+{\pi }_2={\mathrm{i}\mathrm{d}}_V$ i ${\pi }_1(V_2)={\pi }_2(V_1)=\{0\}$.

Per veure que la suma $V_1+V_2$ és directa, considerem $x\in V_1\cap V_2$. Tenim que $x={\pi }_1(x)+{\pi }_2(x)=0$, i la suma és, doncs, directa.

Per veure que $V_1+V_2=V$, considerem $x\in V$. Tenim que $x={\pi }_1(x)+{\pi }_2(x)$ amb ${\pi }_1(x)\in V_1$, ja que

$P_1(f)({\pi }_1(x))=(P_1{P}_2{Q}_2)(f)(x)=(Q_2{P}_1{P}_2)(f)(x)=Q_2(f)(0)=0$,

i similarment ${\pi }_2(x)\in V_2$. D'aquí concloem que $v\in V_1+V_2$ i, per tant, $V=V_1+V_2$.

Finalment, les projeccions de $V=V_1\oplus V_2$ sobre els factors són ${\pi }_1$ i ${\pi }_2$: ja hem vist que la imatge de ${\pi }_i$ està continguda a $V_i$, i que s'anul·la per l'altre factor; només resta veure que ${\pi }_i$ és la identitat sobre $V_i$. Per $x\in V_i$ tenim que $x={\pi }_1(x)+{\pi }_2(x)={\pi }_i(x)$, cosa que volíem demostrar.

Aplicacions

El lema dels nuclis és útil per reduir endomorfismes. Per exemple: