Fórmules de Fresnel

Les equacions de Fresnel (o condicions de Fresnel), deduïdes per Augustin-Jean Fresnel, descriuen el comportament de la llum quan es mou entre medis òptics de diferent índex de refracció. Aquestes fórmules no es poden deduir de l'òptica geomètrica i només s'aconsegueixen a partir de les equacions de Maxwell.

Descripció general

Quan la llum es mou d'un medi amb un índex de reflexió donat, n₁, cap a un segon medi amb índex de refracció n₂, es pot produir tant la reflexió com la refracció de la llum. Les equacions de Fresnel descriuen quina fracció de la llum es reflecteix i quina es refracta. Descriuen a més, el canvi de fase de la llum reflectida.

Les equacions assumeixen que la superfície que separa els dos medis (suposats homogenis) és plana. La ona incident se suposa una ona plana i els efectes de vora es consideren negligibles.

Polaritzacions S i P

El comportament depèn de la polarització del raig incident. Es distingeixen dos casos:

Polarització S (perpendicular) o TE

La llum incident està polaritzada amb el camp elèctric perpendicular al pla que conté els raigs incident, reflectit i refractat. Aquest pla s'anomena pla d'incidència. El terme llum s-polaritzada prové de l'alemany, senkrecht, que vol dir perpendicular.

Polarització P (paral·lela) o TM

La llum incident està polaritzada amb el camp elèctric paral·lel al pla d'incidència.

Equacions d'intensitat o potència

Variables usades a les equacions de Fresnel

Coeficients de potència: aire i vidre

Coeficients de potència: aire i vidre

Quan el raig incident es troba amb la superfície de separació dels dos medis d'índexs n₁ i n_2, part del raig es reflecteix i part es refracta (o transmet). Els angles que els raigs incident, reflectit i refractat formen amb la normal es denoten per θ_i, θ_r and θ_t, respectivament.

La relació entre aquests angles ve donada per la llei de la reflexió:

${\theta }_i={\theta }_r$ ,

i la llei de Snell:

$n_1\sin {\theta }_i=n_2\sin {\theta }_t$.

La fracció de potència incident que és reflectida ve donada per la reflectància, R, i la fracció que es refractada ve donada per la transmitància, T.

La reflectància pel cas de llum s-polaritzada és

$R_s={\left|\frac{Z_2\cos {\theta }_i-Z_1\cos {\theta }_t}{Z_2\cos {\theta }_i+Z_1\cos {\theta }_t}\right|}^2={\left|\frac{\sqrt{\frac{{\mu }_2}{{ϵ}_2}}\cos {\theta }_i-\sqrt{\frac{{\mu }_1}{{ϵ}_1}}\cos {\theta }_t}{\sqrt{\frac{{\mu }_2}{{ϵ}_2}}\cos {\theta }_i+\sqrt{\frac{{\mu }_1}{{ϵ}_1}}\cos {\theta }_t}\right|}^2$,

mentre que la reflectància pel cas de llum p-polaritzada és

$R_p={\left|\frac{Z_2\cos {\theta }_t-Z_2\cos {\theta }_i}{Z_2\cos {\theta }_t+Z_2\cos {\theta }_i}\right|}^2={\left|\frac{\sqrt{\frac{{\mu }_2}{{ϵ}_2}}\cos {\theta }_t-\sqrt{\frac{{\mu }_1}{{ϵ}_1}}\cos {\theta }_t}{\sqrt{\frac{{\mu }_2}{{ϵ}_2}}\cos {\theta }_t+\sqrt{\frac{{\mu }_1}{{ϵ}_1}}\cos {\theta }_i}\right|}^2$,

on Z₁ i Z₂ denoten les impedàncies del medi 1 i 2 respectivament, μ₁ i μ₂ són les permeabilitats magnètiques dels dos materials i ε₁ i ε₂ són les permitivitats elèctriques dels dos materials.

Per medis no magnètics (és a dir, per aquells materials on es compleix μ₁ ≈ μ₂ ≈ μ₀, on μ₀ és la permeabilitat magnètica del buit) es té,

$Z_1=\frac{Z_0}{n_1},Z_2=\frac{Z_0}{n_2}$

Aleshores, la reflectància per a llum s-polaritzada esdevé

$R_s={\left|\frac{n_1\cos {\theta }_i-n_2\cos {\theta }_t}{n_1\cos {\theta }_i+n_2\cos {\theta }_t}\right|}^2={\left|\frac{n_1\cos {\theta }_i-n_2\sqrt{1-(\frac{n_1}{n_2}\sin {\theta }_i{)}^2}}{n_1\cos {\theta }_i+n_2\sqrt{1-(\frac{n_1}{n_2}\sin {\theta }_i{)}^2}}\right|}^2$,

mentre que la reflectància per la llum p-polaritzada,

$R_p={\left|\frac{n_1\cos {\theta }_t-n_2\cos {\theta }_i}{n_1\cos {\theta }_t+n_2\cos {\theta }_i}\right|}^2={\left|\frac{n_1\sqrt{1-(\frac{n_1}{n_2}\sin {\theta }_i{)}^2}-n_2\cos {\theta }_i}{n_1\sqrt{1-(\frac{n_1}{n_2}\sin {\theta }_i{)}^2}+n_2\cos {\theta }_i}\right|}^2$.

La segona igualtat que apareix a cada equació s'ha obtingut eliminant θ_t tot usant la llei de Snell i identitats trigonomètriques.

Com a conseqüència de la conservació de l'energia, les transmitàncies venen donades per

$T_s=1-R_s$

i

$T_p=1-R_p$.

Aquestes relacions són vàlides només per potència o intensitat. Més endavant es mostrarà pels casos on es tenen amplituds complexes en els coeficients de reflexió i transmissió.

Si la llum incident és despolaritzada (és a dir, conté una mescla de polarització p i s), aleshores la reflectància ve donada per,

$R=\frac{1}{2}(R_s+R_p)$.

Casos especials

Incidència normal

Pel cas d'incidència normal es compleix, ${\theta }_i={\theta }_t=0$ i a més no tenim distinció entre polarització s i p. D'aquesta manera, la reflectància se simplifica a

$R={\left|\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right|}^2$.

Angle de Brewster i reflexió interna total

Existeix un angle particular per uns determinats índexs n₁ i n₂ tal que el valor de R_p tendeix a zero i un raig incident p-polaritzat és totalment refractat. Aquest angle es coneix com a angle de Brewster i es troba al voltant dels 56° per un vidre en aire. Aquest fet és vàlid quan els índexs de refracció dels dos materials són nombres reals. Per materials que absorbeixen la llum, com són els metalls i els semiconductors, n és complex i R_p no té perquè tendir a zero.

Quan la llum passa d'un medi més dens cap a un que ho és menys (i.e., n₁ > n₂), amb un angle d'incidència per sobre de l'angle crític, tota la llum és reflectida i R_s = R_p = 1. Aquest fenomen es coneix com a reflexió interna total. L'angle crític ocorre quan l'angle d'incidència, ${\theta }_i$, resulta en un angle de transmissió ${\theta }_t=\pi /4$.

Materials magnètics

Pels materials magnètics, existeix el cas especial on els índexs de refracció reals són iguals, $n_1=n_2$, però les permeabilitats magnètiques no són iguals. En aquest cas, el raig reflectit és independent de la polarització del raig incident i de l'angle d'incidència.

Equacions d'amplitud

Les equacions pels coeficients que corresponen a ratios del camp elèctric d'ones amb amplitud complexa també s'anomenen equacions de Fresnel. Prenen diferents formes depenent del formalisme i el conveni de signes escollit. Els coeficients d'amplitud es representen usualment per r i t.

Descripció del conveni

Al tractament que es fa tot seguit, el coeficient $r$ denota el ratio entre l'amplitud de l'ona reflectida i la incident. El coeficient $t$ es refereix al ratio entre l'amplitud de l'ona transmesa i la de l'ona incident. La llum se separa en polarització s i p, seguint la definició donada anteriorment.

Pel cas de polarització s, un valor positiu de $r$ o $t$, vol dir que el camp elèctric del raig incident i reflectit o transmès són paral·lels, mentre que si prenen un valor negatiu, els camps seran antiparal·lels. Per polarització p, tenir $r$ o $t$ negatius, voldrà dir que els camps magnètics de les ones són paral·lels, mentre que un valor negatiu, voldrà dir que els camps són antiparal·lels. S'assumeix a més que la permeabilitat magnètica, $\mu$, en tots dos medis és igual a la permeabilitat magnètica del buit, ${\mu }_0$.

Fórmules

Usant el conveni de signes descrit anteriorment,

$r_s=\frac{n_1\cos {\theta }_i-n_2\cos {\theta }_t}{n_1\cos {\theta }_i+n_2\cos {\theta }_t}=t_s-1$,

$t_s=\frac{2n_1\cos {\theta }_i}{n_1\cos {\theta }_i+n_2\cos {\theta }_t}=r_s+1$,

$r_p=\frac{n_2\cos {\theta }_i-n_1\cos {\theta }_t}{n_1\cos {\theta }_t+n_2\cos {\theta }_i}$,

$t_p=\frac{2n_1\cos {\theta }_i}{n_1\cos {\theta }_t+n_2\cos {\theta }_i}$.

Com que tant l'ona reflectida com la incident es propaguen en el mateix medi i formen el mateix angle amb la normal, el coeficient de reflexió està relacionat amb la reflectància $R$ mitjançant:

$R=|r{|}^2$.

Pel cas de la transmitància, com que la llum viatja en diferents direccions i velocitat en tots dos medis, es pot relacionar amb el coeficient $t$ a partir de:

$T=\frac{n_2\cos {\theta }_t}{n_1\cos {\theta }_i}|t{|}^2$.

En el cas de la reflexió interna total, els coeficients $t_p$ i $t_s$són nombres complexos que representen la ona evanescent.