Funció de Bateman

En matemàtiques, la funció de Bateman (o funció-k) $k_n$ és un cas particular d'una funció hipergeomètrica confluent, definida per:

$k_n(x)=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\cos (x\tan \theta -n\theta )d\theta$

Rep el nom del matemàtic anglès Harry Bateman, que el 1931 va estudiar aquest tipus de funció. Bateman va descobrir aquesta funció quan Theodore von Kármán va sol·licitar la solució de la següent equació diferencial que apareixia en la teoria de la turbulència

$x\frac{d^{2}u}{d{x}^2}=(x-n)u$

i Bateman va trobar aquesta funció com una de les solucions. Bateman va anomenar aquesta funció amb el nom de «funció k» en honor de Theodore von Kármán.

No s'ha de confondre amb una altra funció del mateix nom que s'utilitza en la farmacocinètica.

Propietats

• $k_0(x)=e^{-|x|}$
• $k_{-n}(x)=k_n(-x)$
• $k_n(0)=\frac{2}{n\pi }\sin \frac{n\pi }{2}$
• $k_2(x)=(x+|x|)e^{-|x|}$
• $|k_n(x)|\le 1$ per a valors reals de $n$ i $x$
• $k_{2n}(x)=0$ per $x<0$ si $n$ és un enter positiu
• Si $n$ és un enter senar, llavors $k_n(x)=-\frac{2x}{\pi }[K_1(-x)+K_0(-x)],x<0$, on $K_n(-x)$ és la funció modificada de Bessel del segon tipus.