Llista de límits

Plantilla:Falten referències A continuació es mostra una llista de límits de funcions comunes. Noti's que a i b són constant respecte x.

Propietats generals de límits

$\text{Sigui }\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L_1\text{ i }\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L_2\text{ llavors:}$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=L_1\pm L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)g(x)]=L_1\times L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}\text{ si }{L}_2\ne 0$

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^n=L_1^n\text{ si }n\text{ és un enter positiu}$

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{\frac{1}{n}}=L_1^{\frac{1}{n}}\text{ si }n\text{ és un enter positiu, i si }n\text{ és parell, llavors }{L}_1>0$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\text{ si }\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0\text{ o }\pm \mathrm{\infty }$ (Regla de l'Hôpital)

Límits de funcions generals

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime }(x)$

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(x(1+h))}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

Límits notables especials

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{k}{x})}^{mx}=e^{mk}$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^x=\frac{1}{e}$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{k}{x})}^x=e^k$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{2}^n\underset{n}{\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\text{...}+\sqrt{2}}}}}}=\pi$Plantilla:Sfn

$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{a^x-1}{x}\right)=\ln a,\mathrm{\forall }a>0$

Funcions simples

$\underset{x\to c}{\lim }a=a$

$\underset{x\to c}{\lim }x=c$

$\underset{x\to c}{\lim }ax+b=ac+b$

$\underset{x\to c}{\lim }{x}^r=c^r\text{ si }r\text{ és un enter positiu}$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^r}=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x^r}=\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\infty },& \text{si }r\text{ és senar}\\ +\mathrm{\infty },& \text{si }r\text{ és parell}\end{array}$

Funcions logarítmiques i exponencials

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln (x)}{x-1}=1$

o:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+1)}{x}=1$

$\text{Per }a>1:$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0$

$\text{Si }a<1:$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\mathrm{\infty }$

Funcions trigonomètriques

$\underset{x\to a}{\lim }\sin x=\sin a$

$\underset{x\to a}{\lim }\cos x=\cos a$

Si $x$ està expressat en radiants:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\to n^{\pm }}{\lim }\tan (\pi x+\frac{\pi }{2})=\mp \mathrm{\infty }\text{per tot enter }n$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin ax}{x}=a$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}$

Límits a infinit

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }N/x=0\text{ per tot nombre real }N$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x/N=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>0\\ \text{no existeix},& N=0\\ -\mathrm{\infty },& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^N=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>0\\ 1,& N=0\\ 0,& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{N}^x=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>1\\ 1,& N=1\\ 0,& 0<N<1\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{N}^{-x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }1/N^x=0\text{ per tot }N>1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{N}=\{\begin{array}{cc}1,& N>0\\ 0,& N=0\\ \text{no existeix},& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[N]{x}=\mathrm{\infty }\text{ per tot }N>0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\log x=-\mathrm{\infty }$

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
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