Desigualtat de Laguerre-Samuelson

La desigualtat de Laguerre–Samuelson dona fites per a les arrels de polinomis que tenen totes les arrels reals. En concret, la desigualtat s'enuncia per a polinomis mònics de grau Plantilla:Nowrap tals que les seves n arrels Plantilla:Nowrap són nombres reals (el nombre d'arrels comptades amb multiplicitat és n pel teorema fonamental de l'àlgebra, però podrien ser qualsevol nombre complex). Donat un polinomi

$P(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+...+a_0,$

si totes les arrels són reals, aleshores qualsevol arrel x_i compleix que

$|x_i+\frac{a_{n-1}}{n}|\le \left|\frac{n-1}{n}\sqrt{a_{n-1}^2-\frac{2n}{n-1}{a}_{n-2}}\right|.$

Això es pot reescriure per a fitar x_i entre dos valors, i s'obté un interval que conté totes les arrels:

$-\frac{a_{n-1}}{n}-\frac{n-1}{n}\sqrt{a_{n-1}^2-\frac{2n}{n-1}{a}_{n-2}}\le x_i\le -\frac{a_{n-1}}{n}+\frac{n-1}{n}\sqrt{a_{n-1}^2-\frac{2n}{n-1}{a}_{n-2}}.$

Aquest resultat fou demostrat per primera vegada pel matemàtic Edmond Laguerre el 1880. Les fites establertes depenen dels coeficients a_n-1, a_n-2 i del grau del polinomi n. Si el polinomi no és mònic, només cal dividir-lo entre a_n per fer-lo mònic i obtenir la desigualtat corresponent.

L'economista Paul Samuelson arribà a un resultat equivalent el 1968, però enunciat en termes estadístics. Samuelson dona fites pels valors d'una mostra Plantilla:Nowrap a partir de la mitjana aritmètica x̄, la desviació tipus σ i la mida mostral n. L'enunciat de Samuelson estableix que, per a qualsevol Plantilla:Nowrap,

$|x_i-\bar{x}|\le \left|\sigma \sqrt{n-1}\right|$

o bé, reescrivint-ho,

$\bar{x}-\sigma \sqrt{n-1}\le x_i\le \bar{x}+\sigma \sqrt{n-1},$

a on, per definició,

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\text{i}\sigma =\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}.$

Tant en l'enunciat de Laguerre com en el de Samuelson s'estableix un interval que ha de contenir els n valors donats. L'interval està centrat, en el primer cas, en −a_n-1/n, que es pot veure que és la mitjana de les arrels, i en el segon cas directament en x̄. Aquest interval és la millor fita possible pels valors x_i si només es coneix a_n-1, a_n-2 i n (o bé x̄, σ i n), ja que es poden posar exemples en què s'assoleix la igualtat.

Expressions per als coeficients del polinomi

La factorització d'un polinomi mònic P(x) amb arrels Plantilla:Nowrap és

$P(x)=\prod _{i=1}^n(x-x_i)=(x-x_1)\cdots (x-x_n).$

Desenvolupant aquest producte pels termes de grau més gran s'obté que

$P(x)=x^n+(-\sum _{i=1}^n{x}_i)x^{n-1}+\left(\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j\right)x^{n-2}+\cdots$

i així ja es poden expressar els coeficients a_n-1 i a_n-2 en funció de les arrels:

$a_{n-1}=-\sum _{i=1}^n{x}_i\text{i}{a}_{n-2}=\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j.$

Equivalència dels enunciats

L'equivalència entre els enunciats de Laguerre i Samuelson s'obté considerant com a mostra Plantilla:Nowrap les arrels d'un polinomi P(x), o viceversa.

Relació entre els paràmetres

D'una banda,

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i=-\frac{a_{n-1}}{n}.$

De l'altra, fent servir la igualtat anterior i la identitat

${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2+\underset{1\le i<j\le n}{2\sum x_i{x}_j}$

es pot desenvolupar

$\begin{array}{cc}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2& =\sum _{i=1}^n(x_i^2-2\bar{x}{x}_i+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}})=\sum _{i=1}^n{x}_i^2-2n\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}+n\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}\\ & ={\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2-\underset{1\le i<j\le n}{2\sum x_i{x}_j}-n\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}=a_{n-1}^2-2a_{n-2}-\frac{1}{n}{a}_{n-1}^2\\ & =\frac{n-1}{n}{a}_{n-1}^2-2a_{n-2},\end{array}$

i per tant

$\sigma =\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}=\sqrt{\frac{n-1}{n^2}{a}_{n-1}^2-\frac{2a_{n-2}}{n}}.$

Així, ja tenim la relació entre els estadístics x̄ i σ i els coeficients a_n-1 i a_n-2, mentre que el grau n del polinomi és igual a la mida n de la mostra.

Equivalència de les desigualtats

Partint de la desigualtat enunciada per Samuelson,

$|x_i-\bar{x}|\le \left|\sigma \sqrt{n-1}\right|,$

i substituint x̄ i σ per les expressions trobades a la subsecció anterior, s'obté

$|x_i+\frac{a_{n-1}}{n}|\le \left|\sqrt{\frac{n-1}{n^2}{a}_{n-1}^2-\frac{2a_{n-2}}{n}}\sqrt{n-1}\right|=\left|\frac{n-1}{n}\sqrt{a_{n-1}^2-\frac{2n}{n-1}{a}_{n-2}}\right|,$

i aquesta és la desigualtat enunciada per Laguerre.

Demostració

Per a demostrar que la desigualtat és vàlida per a qualsevol arrel x_i de P(x), n'hi ha prou en veure-ho per a x_n, ja que no hem suposat cap ordre per a les arrels. Cal veure, doncs, que

$|x_n+\frac{a_{n-1}}{n}|\le \left|\frac{n-1}{n}\sqrt{a_{n-1}^2-\frac{2n}{n-1}{a}_{n-2}}\right|.$

Substituint a_n-1 i a_n-2 per les seves expressions en termes de les arrels, això és que

$|x_n-\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}|\le \left|\frac{n-1}{n}\sqrt{{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2-\frac{2n}{n-1}\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j}\right|.$

Es pot desenvolupar

$\sum _{i<j}{x}_i{x}_j=\frac{1}{2}\sum _{i<j}[x_i^2+x_j^2-(x_i-x_j{)}^2]=\frac{n-1}{2}\sum _i{x}_i^2-\frac{1}{2}\sum _{i<j}(x_i-x_j{)}^2,$

i per tant també

${\left(\sum _i{x}_i\right)}^2=\sum _i{x}_i^2+\sum _{i<j}2x_i{x}_j=n\sum _i{x}_i^2-\sum _{i<j}(x_i-x_j{)}^2,$

havent pres i, j ∈ {1,...,n}. Substituint a la desigualtat, s'obté

$|x_n-\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}|\le \left|\frac{n-1}{n}\sqrt{n\sum _{i=1}^n{x}_i^2-\sum _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j{)}^2-\frac{2n}{n-1}(\frac{n-1}{2}\sum _{i=1}^n{x}_i^2-\frac{1}{2}\sum _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j{)}^2)}\right|,$

i simplificant,

$|x_n-\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}|\le \left|\frac{n-1}{n}\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j{)}^2}\right|.$

Com que els dos costats són quantitats positives, es poden elevar al quadrat i s'obté una desigualtat equivalent:

${(x_n-\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n})}^2\le \frac{n-1}{n^2}\sum _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j{)}^2.$

Ara, desenvolupant el quadrat,

$x_n^2-\frac{2x_n}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i+\frac{1}{n^2}{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2\le \frac{n-1}{n^2}\sum _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j{)}^2,$

i substituint com abans,

$x_n^2-\frac{2x_n}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i+\frac{1}{n^2}(n\sum _{i=1}^n{x}_i^2-\sum _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j{)}^2)\le \frac{n-1}{n^2}\sum _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j{)}^2,$

que simplificant queda

$x_n^2-\frac{2x_n}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2\le \frac{1}{n}\sum _{1\le i<j\le n}(x_i-x_j{)}^2.$

Si se separen els termes amb x_n s'obté

$x_n^2-\frac{2x_n}{n}\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i-\frac{2x_n^2}{n}+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i^2+\frac{x_n^2}{n}\le \frac{1}{n}\sum _{1\le i<j\le n-1}(x_i-x_j{)}^2+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n-1}(x_i-x_n{)}^2,$

se segueix

$\frac{n-1}{n}{x}_n^2-\frac{2x_n}{n}\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i^2\le \frac{1}{n}\sum _{1\le i<j\le n-1}(x_i-x_j{)}^2+\frac{n-1}{n}{x}_n^2-\frac{2x_n}{n}\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n-1}{x}_i^2,$

i cancel·lant termes,

$0\le \frac{1}{n}\sum _{1\le i<j\le n-1}(x_i-x_j{)}^2.$

S'ha obtingut, finalment, una desigualtat que és equivalent a l'inicial (una es compleix si i només si es compleix l'altra) i que és clarament certa, ja que els termes de la dreta, en ser quadrats, mai poden ser negatius. Això conclou la demostració.

Casos d'igualtat

La igualtat s'assoleix quan hi ha n−1 valors iguals i un de diferent. Quan el valor que va sol és el més petit s'assoleix la fita inferior, i quan és el més gran, la superior.

Efectivament, si Plantilla:Nowrap, llavors

$\bar{x}=\frac{n{x}_1-x_1+x_n}{n}\text{i}\sigma =\sqrt{(n-1)}\frac{|x_n-x_1|}{n},$

les fites per a x_i són

$\{\begin{array}{cc}{x}_n\le x_i\le x_1+\frac{n-2}{n}(x_1-x_n)& \text{si}{x}_n\le x_1,\\ x_1-\frac{n-2}{n}(x_n-x_1)\le x_i\le x_n& \text{si}{x}_n\ge x_1,\end{array}$

i aquestes fites s'assoleixen per x_n.

Recíprocament, si s'assoleix la igualtat per a una arrel, la resta d'arrels han de ser iguals entre elles. Això es pot veure seguint els mateixos passos que a la secció «Demostració»: si es compleix la igualtat aleshores s'ha de complir que

$0=\frac{1}{n}\sum _{1\le i<j\le n-1}(x_i-x_j{)}^2,$

i per tant, per a qualssevol i i j menors que n, Plantilla:Nowrap.

En el cas particular n = 2 l'interval té d'extrems les solucions de la fórmula de l'equació de segon grau, així que les fites sempre són exactes.

Referències

• Samuelson, Paul. «How Deviant Can You Be?», Journal of the American Statistical Association, volum 63, número 324 (desembre de 1968), p. 1522–1525. JSTOR 2285901.
• Jensen, Shane Tyler The Laguerre–Samuelson Inequality with Extensions and Applications in Statistics and Matrix Theory, MSc Thesis (1999). Department of Mathematics and Statistics, McGill University.