Argument (anàlisi complexa)

L'argument del punt, expressant mitjançant la lletra grega φ.

En matemàtiques, l'argument (arg) és una funció present en nombres complexos (visualitzada en el pla complex). Proporciona l'angle entre la línia que uneix el punt a l'origen de coordenades i l'eix real, mostrat com a Plantilla:Math en la figura, conegut com lPlantilla:'argument del punt.

Definició

Dues eleccions per a l'argument Plantilla:Mvar

Un argument del nombre complex Plantilla:Math, denotat Plantilla:Math, es pot definir de dues maneres equivalents:

1. Geomètricament, en el pla complex, com l'angle Plantilla:Mvar comprès entre el semieix real positiu i el vector que representa Plantilla:Mvar. El valor numèric ve donat per l'angle en radians i és positiu si es mesura en sentit antihorari.
2. Algebraicament, com qualsevol quantitat real Plantilla:Mvar tal que

$z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$

per a algun real positiu Plantilla:Mvar. Hom diu que la quantitat Plantilla:Mvar és el mòdul de Plantilla:Mvar, denotat per |Plantilla:Mvar|:

$r=\sqrt{x^2+y^2}.$

Els noms amplitud per al mòdul i fase per a l'argument també es poden fer servir de manera equivalent.

Amb qualsevol de les dues definicions, es pot veure que l'argument de qualsevol nombre complex (diferent de zero) té molts valors possibles: en primer lloc, com a angle geomètric, és clar que les rotacions de circumferències completes no canvien el punt, de tal manera que els angles que difereixen d'un múltiple enter de Plantilla:Math radians (una circumferència completa) tenen el mateix valor. De manera similar, a partir de la periodicitat de les funcions [[sinus|Plantilla:Math]] i [[cosinus|Plantilla:Math]], la segona definició també té aquesta propietat.

Valor principal

El valor principal Plantilla:Math del punt Plantilla:Color a Plantilla:Math és Plantilla:Math. La línia Plantilla:Color és el punt de ramificació i correspon a les dues línies vermelles de la figura següent que estan situades una per sobre de l'altra.

Com que una rotació completa al voltant de 0 deixa invariant un nombre complex, hi ha moltes eleccions possibles per a Plantilla:Mvar, voltant a l'origen qualsevol nombre de vegades. Això es mostra en la figura adjunta, una representació de la funció multivaluada, on una recta vertical talla la superfície a les altures que representen totes les possibles eleccions de l'angle per aquell punt.

Quan es necessita una funció ben definida, llavors l'elecció habitual és el valor principal, que correspon al valor dins l'interval (−π rad, π rad], és a dir, des de Plantilla:Math fins a Plantilla:Math radians, excloent el valor Plantilla:Math rad (equivalentment, de -180 a +180 graus, excloent el valor −180°). Això representa l'angle llevat d'una semicircumferència des del semieix positiu real en qualsevol sentit.

Alguns autors defineixen el rang del valor principal dins l'interval [0, 2π).

Notació

De vegades, el valor principal es representa amb la inicial majúscula, com en Plantilla:Math, especialment quan també s'està considerant una versió general de l'argument. Notem que la notació pot variar, de tal manera que en alguns textos es poden intercanviar Plantilla:Math i Plantilla:Math.

El conjunt de tots els valors possibles de l'argument es pot escriure en termes de Plantilla:Math com:

$\arg z=\{\mathrm{Arg}z+2\pi n|n\in \mathbb{Z}\}.$

Espai revestiment

Els argument del pla complex estan dibuixats seguint l'eix vertical. Plantilla:Math mesura l'angle dels punts. Les línies radials indiquen aquells punts que estan a sobre de la superfície i, per tant, tenen un angle constant amb l'eix real. L'estructura mostra que cada punt té un nombre infinit d'arguments, cadascun corresponent a una intersecció entre una recta vertical que passa pel punt i que intersecta la superfície. L'engraellat vermell indica la part de la superfície corresponent al valor principal.

En situacions informals, pot ser que Plantilla:Math no estigui ben definit, per exemple Plantilla:Math, on Plantilla:Math depèn d'un paràmetre Plantilla:Mvar pot canviar en una magnitud de Plantilla:Math cada vegada que Plantilla:Mvar dona una volta entorn de l'origen. Aquesta idea es pot precisar més, considerant que Plantilla:Math no està definida en el pla complex, sinó en un espai revestiment. Les coordenades polars excloent l'origen i amb un angle no restringit proveeixen un tal espai revestiment; en aquest cas, Plantilla:Math està definit com

$\begin{array}{cc}\arg :{ℝ}^{+}\setminus \{0\}\times ℝ& \to ℝ\\ (r,\phi )& \mapsto \phi .\end{array}$

L'espai revestiment és equivalent al pla complex foradat:

$ℂ\setminus \{0\}$

i té com a espai base el producte d'un radi positiu diferent de zero i un angle sobre la circumferència unitat:

${ℝ}^{+}\setminus \{0\}\times {𝕊}^1.$

El valor principal Plantilla:Math envia llavors l'espai revestiment d'aquesta representació a l'interval (−π, π]:

$\begin{array}{cc}\mathrm{Arg}:{ℝ}^{+}\setminus \{0\}\times ℝ& \to (-\pi ,\pi ]\\ (r,\phi )& \mapsto \phi .\end{array}$

Càlcul

El valor principal Plantilla:Math d'un nombre complex donat en la forma Plantilla:Math normalment es pot calcular mitjançant les llibreries de molts llenguatges de programació, emprant la funció atan2 o una de similar. El valor de Plantilla:Math és el valor principal dins del rang (−π, π].

Molts textos diuen que el valor ve donat per Plantilla:Math, ja que Plantilla:Math és el pendent, i Plantilla:Math converteix el pendent en l'angle. Això és correcte només quan Plantilla:Math, de tal manera que el quocient està definit i l'angle està entre Plantilla:Math i Plantilla:Math, però no és tant freqüent trobar com s'ha de tractar el casl en què Plantilla:Math no sigui positiu. Més específicament, hom pot definir el valor principal de l'argument de manera separada en els dos semiplans Plantilla:Math i Plantilla:Math (separats en dos quadrants si es vol un punt de ramificació en el semieix negatiu de les Plantilla:Math), Plantilla:Math, Plantilla:Math, i després unint-los convenientment.

$\mathrm{Arg}(x+iy)=\mathrm{atan2}(y,x)=\{\begin{array}{cc}\arctan (\frac{y}{x})& \text{si }x>0,\\ \arctan (\frac{y}{x})+\pi & \text{si }x<0\text{ i }y\ge 0,\\ \arctan (\frac{y}{x})-\pi & \text{si }x<0\text{ i }y<0,\\ +\frac{\pi }{2}& \text{si }x=0\text{ i }y>0,\\ -\frac{\pi }{2}& \text{si }x=0\text{ i }y<0,\\ \text{indefinit}& \text{si }x=0\text{ i }y=0.\end{array}$

Per la variant en què Plantilla:Math estigui definit en l'interval [0, 2π), hom pot trobar el valor afegint 2π al valor obtingut anteriorment quan és negatiu.

Una manera alternativa de calcular el valor principal de manera uniforme és emprar la fórmula de la tangent de l'angle meitat, i llavors definim la funció sobre el pla complex però excloent l'origen:

$\mathrm{Arg}(x+iy)=\{\begin{array}{cc}2\arctan \left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+x}\right)& \text{si }x>0\text{ o }y\ne 0,\\ \pi & \text{si }x<0\text{ i }y=0,\\ \text{indefinit}& \text{si }x=0\text{ i }y=0.\end{array}$

Això està basat en una parametrizació de la circumferència (excepte el semieix negatiu de les Plantilla:Mvar) per funcions racionals. Aquesta versió de Plantilla:Math no és suficientment estable per a càlculs en coma flotant (especialment al voltant de la regió Plantilla:Math), però es pot emprar en càlcul simbòlic.

Una variant d'aquesta última fórmula que evita el problema anterior és aquesta, que de vegades s'usa en computacions amb alta precisió:

$\mathrm{Arg}(x+iy)=\{\begin{array}{cc}2\arctan \left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{y}\right)& \text{si }y\ne 0,\\ 0& \text{si }x>0\text{ i }y=0,\\ \pi & \text{si }x<0\text{ i }y=0,\\ \text{indefinit}& \text{si }x=0\text{ i }y=0.\end{array}$

Identitats

Una de les principals motivacions per definir el valor principal Plantilla:Math és poder escriure els nombres complexos en la forma mòdul-argument. Així, per a qualsevol nombre complex Plantilla:Mvar,

$z=\left|z\right|e^{i\mathrm{Arg}z}.$

Això només és vàlid si Plantilla:Mvar no és 0, però es pot acceptar que sigui vàlid també en aquest cas si es considera que Plantilla:Math sigui una forma indeterminada en comptes d'estar indefinit.

Si Plantilla:Math i Plantilla:Math són dos nombres complexos no nuls, llavors

$\mathrm{Arg}(z_1{z}_2)\equiv \mathrm{Arg}(z_1)+\mathrm{Arg}(z_2)(\mathrm{mod}(-\pi ,\pi ]),$

$\mathrm{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)\equiv \mathrm{Arg}(z_1)-\mathrm{Arg}(z_2)(\mathrm{mod}(-\pi ,\pi ]).$

Si Plantilla:Math i Plantilla:Mvar és qualsevol enter, llavors

$\mathrm{Arg}\left(z^n\right)\equiv n\mathrm{Arg}(z)(\mathrm{mod}(-\pi ,\pi ]).$

Exemple

$\mathrm{Arg}\left(\frac{-1-i}{i}\right)=\mathrm{Arg}(-1-i)-\mathrm{Arg}(i)=-\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{2}=-\frac{5\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}(\mathrm{mod}(-\pi ,\pi ]).$

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre

Enllaços externs

• Plantilla:MathWorld