Polinomi de Jones

En el camp de la teoria de nusos, s'anomena polinomi de Jones a un invariant per nusos orientats en forma de polinomi de Laurent de coeficients enters en variable $t^{1/2}$ descobert per Vaughan Jones el 1984.Plantilla:Sfn També és aplicable a enllaços.

Definició a partir del polinomi parèntesi de Kaufmann

Primer moviment de Reidemeister

Sigui $L$ un enllaç orientat donat a partir del seu diagrama i sigui $⟨L⟩$ el seu polinomi parèntesi de Kaufmann. Notem que el polinomi parèntesi és un polinomi de Laurent en la variable $A$ amb coeficients enters.

Prenem $X(L)=(-A^3{)}^{-w(L)}⟨L⟩$ (el polinomi parèntesi normalitzat), on $w(L)$ denota l'entortellament (writhe) de L al seu diagrama donat. (L'entortellament del diagrama és el nombre de creuaments positius ($L_{+}$ a la figura) menys el nombre de creuaments negatius ($L_{-}$. Cal tenir present que l'entortellament no és un invariant per nusos.)

$X(L)$ és un invariant per nusos, perquè és invariant pels canvis en el diagrama de L via moviments de Reidemeister. La invariància pel segon i el tercer moviments ve heretada per la invariància del polinomi parèntesi. Pel que fa al primer moviment, el polinomi parèntesi canvia en un producte per $-A^{\pm 3}$, però la definició donada del polinomi X està feta per anul·lar aquesta variació, ja que l'entortellament canvia degudament per +1 or -1 en aplicar el primer moviment de Reidemeister.

Substituïm ara $A=t^{-1/4}$ a $X(L)$ per tal d'obtenir el polinomi de Jones $V(L)$. En resulta un polinomi de Laurent de coeficients enters i variable $t^{1/2}$.

Aquesta definició fou introduïda per Louis Kauffman l'any 1987 i suposà una formulació més propera a les eines clàssiques de la teoria de nusos.Plantilla:Sfn La definició original de Jones partia de la representació de grups de trenes.

Propietats

El polinomi de Jones es caracteritza pel fet que pren valor 1 per qualsevol diagrama del nus trivial. Compleix a més la relació:

$(t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_0)=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})$

on $L_{+}$, $L_{-}$ i $L_0$ són les relacions de Skein, és a dir els tres diagrames orientats idèntics excepte en un encreuament segons el que es mostra a la següent taula:

La definició del polinomi de Jones a partir del polinomi de Kaufmann facilita veure que donat un nus $K$ el polinomi de Jones de la seva imatge especular ve donada a partir de substituir $t^{-1}$ per $t$ a $V(K)$. Per tant, un nus igual a la seva imatge especular ha de tenir polinomi de Jones en forma de palíndrom.

Polinomi de Jones cromàtic

Polinomi de Jones de N colors: N tires de L són paral·leles amb la resta al llarg del nus L i colorejades cadascuna en un color.

Sigui N un nombre natural, un polinomi de Jones de N colors, $V_N(L,t)$, pot definir-se com el polinomi de Jones per N tires del nus $L$ tal com es mostra a la figura de la dreta. Pot associar-se a una representació irreductubible de $SU(2)$ de dimensió N+1. De la mateixa manera que un polinomi de Jones no cromàtic, pot definir-se a partir de la relació de Skein i és un polinomi de Laurent en una variable t.

Un polinomi de Jones cromàtic de N colors $V_N(L,t)$ compleix les propietats següents:

• $V_{X\oplus Y}(L,t)=V_X(L,t)+V_Y(L,t)$ on $X,Y$ són dos espais de representació.
• $V_{X\otimes Y}(L,t)$ és igual al polinomi de Jones de les 2-tires de L amb dues components etiquetades per $X$ i $Y$. Per tant, el polinomi de Jones de N colors és igual al polinomi de Jones original de les N tires de L.
• El polinomi de Jones original és un cas especial de polinomi de Jones cromàtic amb N = 1: $V(L,t)=V_1(L,t)$ .

Problemes oberts

Actualment no se sap si existeix cap altre nus amb el mateix polinomi de Jones que el del nus trivial. No obstant, gràcies a Morwen Thistlethwaite sí que se sap de l'existència d'enllaços no trivials amb el polinomi de Jones de l'enllaç trivial.Plantilla:Sfn

Vegeu també

• Polinomi d'Alexander
• Polinomi de HOMFLY
• Teoria de nusos

Bibliografia

• Plantilla:Ref-publicació Article original on Jones introduí el polinomi.
• Plantilla:Ref-publicació Article que introduí la definició a partir del polinomi parèntesi de Kauffman i la seva relació amb la formulació de Jones a partir de la representació de trenes.
• Plantilla:Ref-web
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Springer