Connexitat per arcs

En topologia, es diu que un espai (o un subespai) és connex per arcs o arc-connex (o també connex per camins) si compleix una propietat que, intuïtivament, pot entendre's com la possibilitat de formar un camí entre dos punts qualssevol de l'espai o subespai. Cadascun dels subespais arc-connexs no continguts en un subespai arc-connex major s'anomena component arc-connexa de l'espai.

Definició formal

Direm que un conjunt $X$ és connex per camins o arc-connex si donats $x_1,x_2\in X$ hi ha un camí continu $\alpha :[0,1]\to X$ tal que $\alpha (0)=x_1$ i $\alpha (1)=x_2$.

Propietats

Pinta del topòleg

La connexitat per camins implica connexitat, però el recíproc no és cert en general. Un contraexemple molt típic és l'anomenat pinta del topòleg, $X=A\cup B$, on $A=\{0\}\times ]-1,1[$ i $B=([0,1]\times \{0\})\cup (\{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}\times [0,1])$. $X$ és connex, però no connex per camins.

Ser connex per camins no és una propietat hereditària (és a dir, si un conjunt és connex per camins, qualsevol subconjunt d'aquest no és necessàriament connex per camins). Però, ser connex per camins és una propietat topològica (és a dir, la imatge mitjançant una aplicació contínua d'un conjunt connex per camins és connexa per camins).