Punt de l'infinit

Fig. 1: la recta projectiva real (ℝP¹), amb el punt de l'infinit $\mathrm{\infty }$, genera una corba tancada

El punt de l'infinit, punt a l'infinit o punt impropi és una entitat topològica i geomètrica que s'introdueix a manera de tancament o frontera infinita del conjunt dels nombres reals. Quan s'afegeix a la recta real, genera una corba tancada (vegeu fig. 1) coneguda com a recta projectiva real, $ℝP^1$, que no és equivalent a la recta real ampliada, que té dos punts diferents en l'infinit: Plantilla:Equació

Topologia T

Perquè el punt de l'infinit representi efectivament l'infinit real es defineix en $\overline{ℝ}$ la topologia $\bar{T}$ formada per tots els conjunts:

• A, que són oberts de $ℝ$
• B, que són complementaris de conjunts compactes (tancats i fitats) de $ℝ$

Els conjunts A són els oberts de $\overline{ℝ}$ que no contenen el $\mathrm{\infty }$, mentre que els conjunts B són els que sí el contenen.

Sigui $x_n\in ℝ$ una successió de nombres reals tals que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\mathrm{\infty }$. Dins del conjunt dels nombres reals, això vol dir únicament que:

Però aquesta mateixa condició implica en $\overline{ℝ}$ que:

És a dir, que en $\overline{ℝ}$ s'escriu també $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\mathrm{\infty }$. No obstant això, només en $\overline{ℝ}$ es pot dir que la successió $x_n$ convergeix, ja que $\mathrm{\infty }\notin ℝ$ .

En el pla complex

	Fig. cp1: projecció estereogràfica del pla complex estès sobre l'esfera de Riemann
	Fig. cp2: l'esfera de Riemann pot ser visualitzada com el pla complex embolicat al voltant d'una esfera

El punt de l'infinit també pot afegir-se al pla complex, ${ℂ}^1$, de manera que es transformi en una superfície tancada (vegeu fig. cp1 i fig. cp2), la recta projectiva complexa $ℂP^1$, també anomenada esfera de Riemann, una esfera sobre el pla complex i des del pol superior del qual es projecta la resta de punts de l'esfera sobre el pla complex D'aquesta manera, s'estableix una bijectivitat en la qual a cada punt de l'esfera en correspon un del pla complex. L'homòleg del punt des del qual projectem estereogràficament es converteix en el punt de l'infinit.

Rectes paral·leles en ℝ²

Igual que dues rectes assecants comparteixen un punt, dues rectes paral·leles comparteixen una direcció, per la qual cosa aquestes direccions també són conegudes com a punts impropis d'aquestes rectes en les quals es troben. Per exemple, en ${ℝ}^2$ no és possible determinar amb exactitud la posició del punt de l'infinit mitjançant unes coordenades absolutes $(x,y)$. Per aconseguir-ho, s'acudeix a les coordenades homogènies $(x^{\prime },y^{\prime },w)$, en què $x^{\prime }$ i $y^{\prime }$ representen la direcció del vector director de la recta. Les anteriors coordenades absolutes $(x,y)$ venen donades per:

El punt $(4,6)$ podria representar-se, per exemple, com $(8,12,2)$ o com $(2,3,\frac{1}{2})$. La representació del punt de l'infinit s'obté igualant $w=0$, així: Plantilla:Equació

El punt de l'infinit de l'eix OX seria el $(1,0,0)$, el $(2,0,0)$, etc.

Vegeu també

• Coordenades homogènies.
• Esfera de Riemann.
• Punt de fuga.