Teorema de Le Cam

En teoria de la probabilitat, el teorema de Le Cam, que rep el nom de Lucien le Cam (1924 - 2000), anuncia el següent:

Suposi's que:

• X₁, ..., X_n són variables aleatòries independents, cadascuna d'elles amb una distribució de Bernoulli (és a dir, igual a 0 o a 1), no necessàriament distribuïdes idènticament.
• Pr(X_i = 1) = p_i per i = 1, 2, 3, ...
• ${\lambda }_n=p_1+\cdots +p_n.$
• $S_n=X_1+\cdots +X_n.$ (és a dir, $S_n$ segueix una distribució binomial de Poisson)

llavors:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|\mathrm{Pr}(S_n=k)-\frac{{\lambda }_n^k{e}^{-{\lambda }_n}}{k!}|<2\sum _{i=1}^n{p}_i^2.$

En altres paraules, la suma segueix aproximadament una distribució de Poisson i la inequació de dalt limita l'error d'aproximació en termes de la distància de variació total.

Establint p_i = λ_n/n, llavors es generalitza l'habitual teorema del límit de Poisson.

Quan ${\lambda }_n$ és gran, es pot tenir un llindar millor: $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|\mathrm{Pr}(S_n=k)-\frac{{\lambda }_n^k{e}^{-{\lambda }_n}}{k!}|<2(1\wedge {\frac{1}{\lambda }}_n)\sum _{i=1}^n{p}_i^2.$

També es pot afeblir el requisit d'independència.

Enllaços externs

• Inequalitat de Le Cam, a MathWorld, Eric W. Weisstein, en anglès.