Índex del punt fix

En matemàtiques, l'índex del punt fix és un concepte en la teoria topològica de punts fixos, i en particular la teoria de Nielsen. L'índex de punt fix es pot considerar com una mesura de multiplicitat per a punts fixos.

L'índex es pot definir fàcilment en la configuració d'anàlisi complexa: Sigui $f(z)$ un mapatge holomorf en el pla complex, i deixem que sigui un punt fix de $f$. Llavors la funció $f(z)-z$ és holomorfa, i té un zero aïllat en $z_0$. Definim l'índex de punt fix de $f$ en $z_0$, denotat $i(f,z_0)$, per ser la multiplicitat del zero de la funció $f(z)-z$ en el punt $z_0$.

En l'espai euclidià real, l'índex de punt fix es defineix de la manera següent: Si $x_0$ és un punt fix aïllat de $f$, llavors fem que $g$ sigui la funció definida per

$g(x)=\frac{x-f(x)}{||x-f(x)||}.$$x$

Llavors, $g$ té una singularitat aïllada en $x_0$, i fa un mapatge del límit d'algun veïnatge suprimit de $x_0$ a l'esfera unitat. Definim $i(f,z_0)$ com el grau de Brouwer del mapatge induït per $g$ en una petita esfera convenientment seleccionada al voltant de $x_0$.Plantilla:Sfn

El teorema de Lefschetz-Hopf

La importància de l'índex de punt fix es deu principalment al seu paper en el teorema de Lefschetz-Hopf, que diu:

$\sum _{x\in \mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(f)}i(f,x)={\mathrm{\Lambda }}_f,$

on $\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(f)$ és el conjunt de punts fixos de $f$, i $\mathrm{\Lambda }f$ és el nombre de Lefschetz de $f$.

Atès que el valor del costat esquerre de l'anterior és clarament zero quan $f$ no té punts fixos, el teorema de Lefschetz-Hopf implica trivialment el teorema del punt fix de Lefschetz.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre.
• Plantilla:Ref-llibre