Desigualtat de Maclaurin

En matemàtiques, la desigualtat de Maclaurin, que rep el nom del matemàtic escocès Colin Maclaurin, és un refinament de la desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica.

Siguin $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ nombres reals positius qualsevols, per $k = 1, 2, \dots, n$ definim les mitjanes $S_{k}$ com:

S_{k} = \frac{\sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n} a_{i_{1}} a_{i_{2}} \dots a_{i_{k}}}{(\binom{n}{k})} .

El numerador d'aquesta fracció és el polinomi simètric elemental de grau k en les n variables $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ , és a dir, la suma de tots els productes de k nombres escollits de $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ . El denominador és el nombre de termes del numerador, que s'expressa amb el coeficient binomial $(\binom{n}{k})$ .

La desigualtat de Maclaurin és la següent cadena de desigualtats:

S_{1} \geq \sqrt{S_{2}} \geq \sqrt[3]{S_{3}} \geq \dots \geq \sqrt[n]{S_{n}}

amb igualtat si i només si tots els $a_{i}$ són iguals.

Per n = 2, això dona la desigualtat habitual entre les mitjanes aritmètica i geomètrica de dos nombres. El refinament que aporta Maclaurin a aquesta desigualtat es pot observar per exemple pel cas de n = 4:

\begin{matrix} \frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}}{4} \\ \geq \sqrt{\frac{a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + a_{1} a_{4} + a_{2} a_{3} + a_{2} a_{4} + a_{3} a_{4}}{6}} \\ \geq \sqrt[3]{\frac{a_{1} a_{2} a_{3} + a_{1} a_{2} a_{4} + a_{1} a_{3} a_{4} + a_{2} a_{3} a_{4}}{4}} \\ \geq \sqrt[4]{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}} . \end{matrix}

La desigualtat de Maclaurin es pot provar utilitzant les desigualtats de Newton.

Referències

Plantilla:Ref-llibre

Aquest article incorpora material sobre la Desigualtat de Maclaurin de PlanetMath, que es troba sota la llicència Creative Commons Reconeixement/Compartir igual (by-sa).

Desigualtat de Maclaurin

Referències

Menú de navegació

Cerca