Forma indeterminada

En matemàtiques, s'anomena forma indeterminada a cadascuna de les expressions algebraiques següents que s'obtenen en el càlcul de límits: Plantilla:Equació

Dues funcions que presenten la mateixa indeterminació poden tenir límits distints. Els mètodes freqüents per evitar les indeterminacions són la regla de L'Hôpital, el teorema del sandvitx i l'aplicació de logaritmes.

Exemple

La indeterminació $0/0$ apareix als següents límits: Plantilla:Equació Però, aplicant la Regla de L'Hôpital, els límits d'aquestes funcions són distints: Plantilla:Equació

Indeterminació $1^{\mathrm{\infty }}$

Existeix una fórmula per evitar la indeterminació $1^{\mathrm{\infty }}$. Siguin $f$ i $g$ dues funcions amb límits $1$ i $\mathrm{\infty }$ quan $x\to a$ (sent $a\in ℝ\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$), aleshores Plantilla:Equació En aquest cas, Plantilla:Equació

Per exemple,

Aplicant la fórmula,

Indeterminació $\mathrm{\infty }/\mathrm{\infty }$

• Comparació de funcions: en els quocients de funcions que tendeixen a infinit, es pot predir el resultat del límit comparant el creixement de les funcions (en realitat, el que es compara és el grau dels infinits). Per exemple,

Plantilla:Equació Com que la funció exponencial creix més ràpid que un monomi, l'infinit del denominador és major, per la qual cosa el límit és 0: Plantilla:Equació Si és major el creixement del numerador, el límit és infinit, per exemple: Plantilla:Equació

• Quocient de polinomis: quan $x\to \mathrm{\infty }$, apareix la indeterminació $\mathrm{\infty }/\mathrm{\infty }$ en el límit dels quocients de polinomis. Es pot predir el límit comparant els graus dels polinomis: Siguin $P(x)$ i $Q(x)$ dos polinomis amb graus $\delta P$ i $\delta Q$, respectivament, aleshores:

sent $p$ i $q$ els coeficients principals del polinomis $P(x)$ i $Q(x)$, respectivament.

En el tercer cas, $\delta P>\delta Q$, el signe de l'infinit és $signe(p/q)$.

En el cas $x\to -\mathrm{\infty }$, es procedeix de manera semblant.

Indeterminació $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$

Aquesta indeterminació es pot evitar, normalment, operant al límit. Per exemple, Plantilla:Equació Però, Plantilla:Equació

Indeterminació ${\mathrm{\infty }}^0$

Aquesta indeterminació es sol evitar aplicant les propietats dels logaritmes.

Per exemple, Plantilla:Equació

Taula de formes indeterminades

La següent taula conté les formes indeterminades i les transformacions necessàries per poder aplicar la regla de L'Hôpital.

Forma indeterminada	Condicions	Transformació a 0/0	Transformació a ∞/∞
$\frac{0}{0}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$	—	$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{1/g(x)}{1/f(x)}$
$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{1/g(x)}{1/f(x)}$	—
$0\cdot \mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)g(x)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{1/g(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)g(x)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/f(x)}$
$1^{\mathrm{\infty }}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=1,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$
$0^0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=0^{+},\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$
${\mathrm{\infty }}^0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{g(x)}{1/\ln f(x)}$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to c}{\lim }\frac{\ln f(x)}{1/g(x)}$
$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$	$\underset{x\to c}{\lim }(f(x)-g(x))=\underset{x\to c}{\lim }\frac{1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}$	$\underset{x\to c}{\lim }(f(x)-g(x))=\ln \underset{x\to c}{\lim }\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}$

Vegeu també

• Regla de L'Hôpital