Funcions de Baer

Les funcions de Baer $B_p^q(z)$ i $C_p^q(z)$ són solucions de l'equació diferencial de Baer

$\frac{d^{2}B}{d{z}^2}+\frac{1}{2}[\frac{1}{z-b}+\frac{1}{z-c}]\frac{dB}{dz}-\left[\frac{p(p+1)z+q(b+c)}{(z-b)(z-c)}\right]B=0$

que sorgeix quan s'aplica la separació de variables a l'equació de Laplace en coordenades paraboloidals. Les funcions de Baer es defineixen com les sèries de solucions sobre $z=0$ que satisfan $B_p^q(0)=0$, $C_p^q(0)=1$.Plantilla:Sfn Substituint una sèrie de potències d'Ansatz a l'equació diferencial, es poden construir sèries formals per a les funcions de Baer.Plantilla:Sfn Per a valors especials de $p$ i $q$, poden existir solucions més senzilles. Per exemple,

$B_0^0(z)=\ln \left[\frac{z+\sqrt{(z-b)(z-c)}-(b+c)/2}{\sqrt{bc}-(b+c)/2}\right]$

A més, les funcions de Mathieu són solucions de casos especials de l'equació de Baer, ja que aquesta es redueix a l'equació diferencial de Mathieu quan $b=0$ i $c=1$, i fent el canvi de variable $z={\cos }^{2}t$.

Igual que l'equació diferencial de Mathieu, l'equació de Baer té dos punts singulars regulars (en $z=b$ i $z=c$), i un punt singular irregular a l'infinit. Així, en contrast amb moltes altres funcions especials de la física matemàtica, les funcions de Baer no es poden expressar en general en termes de funcions hipergeomètriques.

LPlantilla:'equació d'ones de Baer és una generalització que resulta de separar variables en l'equació de Helmholtz en coordenades paraboloidals:

$\frac{d^{2}B}{d{z}^2}+\frac{1}{2}[\frac{1}{z-b}+\frac{1}{z-c}]\frac{dB}{dz}+\left[\frac{k^2{z}^2-p(p+1)z-q(b+c)}{(z-b)(z-c)}\right]B=0$

que redueix a l'equació de Baer original quan $k=0$.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre

Enllaços externs

• Plantilla:Mathworld