Teorema de Fejér

En matemàtiques, i més precisament en anàlisi, el teorema de Fejér és un dels resultats principals de la teoria de sèries de Fourier. Proporciona propietats de convergència molt generals per a la sèrie de Fourier, ja que s'utilitza el procés de suma de Cesàro. El teorema va ser demostrat el 1900 pel matemàtic hongarès Lipót Fejér (1880-1959).

Enunciat

Sigui Plantilla:Mvar una funció localmen integrable t i Plantilla:Math-periòdica. Escrivim

$S_n(f)(x):=\sum _{k=-n}^n{c}_k(f){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}$

el terme d'ordre n de la sèrie de Fourier, amb

$c_k(f):=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}kt}\mathrm{d}t$,

llavors

${\sigma }_N(f):x⟼\frac{1}{N+1}\sum _{n=0}^N{S}_n(f)(x)$

són les successives mitjanes de Cesàro dels termes de la sèrie de Fourier. A continuació, disposem de les afirmacions següents:

• Teorema de Fejér, versió uniforme :

  Si Plantilla:Mvar es una funció contínua, llavors la sèrie de funcions ${\sigma }_N(f)$ convergeix uniformement cap a la funció Plantilla:Mvar, amb a més, per a tot N,

  $\Vert {\sigma }_N(f){\Vert }_{\mathrm{\infty }}⩽\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ ;

• Teorema de Fejér, versió L^p $(1⩽p<+\mathrm{\infty })$, també anomenat Teorema de Fejér-Lebesgue :

  Si Plantilla:Mvar pertany a l'espai L^p, llavors la sèrie de funcions ${\sigma }_N(f)$ convergeix cap a la funció Plantilla:Mvar en sentit de la norma $\Vert \cdot {\Vert }_p$, amb a més, per a tot N,

  $\Vert {\sigma }_N(f){\Vert }_p⩽\Vert f{\Vert }_p$.

Una forma més general del teorema s'aplica a funcions que no necessàriament són contínues.Plantilla:Sfn Suposem que f es troba en L¹(-π,π). Si els límits de l'esquerra i de la dreta f(x₀±0) de f(x) existeixen a x₀, o si els dos límits són infinits del mateix signe, llavors

${\sigma }_n(x_0)\to \frac{1}{2}(f(x_0+0)+f(x_0-0)).$

També existeix una existència o divergència a l'infinit de la mitjana de Cesàro..Plantilla:Sfn

Aplicacions

Com a conseqüència del teorema de Fejér es poden obtenir molts resultats sobre la sèrie de Fourier. A les proposicions següents, totes les funcions considerades són Plantilla:Math-periòdiques.

• L'aplicació a una funció integrable que associa els seus coeficients de Fourier és injectiva.

La injectivitat s'ha d'entendre a l'espai L{{1}}, és a dir, dues funcions amb els mateixos coeficients de Fourier són iguals gairebé a tot arreu. En el cas de dues funcions contínues, són iguals.

• El teorema uniforme de Fejér constitueix una de les possibles proves del teorema de Weierstrass trigonomètric: si Plantilla:Mvar és una funció contínua, hi ha una seqüència de polinomis trigonomètrics que conflueixen uniformement cap a Plantilla:Mvar. De la mateixa manera, el teorema de Fejér-Lebesgue demostra la densitat de l'espai dels polinomis trigonomètrics als diferents espais L^p.
• Si Plantilla:Mvar és contínua i si la seva sèrie de Fourier convergeix fins a un punt x, de manera que ella necessàriament convergeix Plantilla:Math.

S'ha de comparar amb el comportament de la sèrie de Taylor d'una funció, que molt bé pot convergir a un valor diferent al valor de la funció.

• Podem utilitzar el teorema de Fejér per demostrar una versió uniforme del teorema de Jordan-Dirichlet: si Plantilla:Mvar és una funció variada delimitada i contínua, la sèrie de Fourier Plantilla:Mvar convergeix uniformement cap a Plantilla:Mvar.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre