Integral de Txebixov

Pafnuti Txebixov (1821-1894)

La integral de Txebixov está donada per

on $B(x;a,b)$ és la funció beta incompleta.

Teorema d'integració dels binomis diferencials

Txebixov va demostrar que les integrals indefinides binòmiques de la forma:

$\int x^m(a+b{x}^n{)}^{p}dx$

són funcions elementals únicament si almenys una de les expressions $p$, $(\frac{m+1}{n})$ o $p+(\frac{m+1}{n})$ és un número enter. En un altre cas, no poden representar-se en termes de funcions elementals.

Exemple

• $\int x^3(1+2x^2{)}^{-\frac{3}{2}}dx$ on $p=-\frac{3}{2}$, $n=2$ i $m=3$, o sigui, $\frac{m+1}{n}=\frac{3+1}{2}=2$.

Llavors, $1+2x^2=z^2⟶x=\sqrt{\frac{z^2-1}{2}}⟶dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{z}{\sqrt{z^2-1}}dz$ .

Per tant, $F(x)=\int (\frac{z^2-1}{2}{)}^{\frac{3}{2}}(z^2{)}^{-\frac{3}{2}}z(z^2-1{)}^{-\frac{1}{2}}dz=\frac{1}{4}\int z^{-2}(z^2-1)dz=\frac{1}{4}\int (1-\frac{1}{z^2})dz=\frac{1}{4}(z+\frac{1}{z})+C=\frac{1}{4}(\sqrt{1+2x^2}+\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}})+C.$

Bibliografia

• Plantilla:MathWorld