Forma quadràtica

Una forma quadràtica (real) és un polinomi homogeni de grau dos que involucra $n$ variables $x_1,\dots ,x_n$ :

$Q(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{A}_{ij}{x}_i{x}_j,$

on $A_{ij}\in ℝ,i,j=1,\dots n$.
Les formes quadràtiques d'una, dues i tres variables són:

$Q(x)=a{x}^2,$

$Q(x,y)=a{x}^2+b{y}^2+cxy,$

$Q(x,y,z)=a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2+dxy+exz+fyz.$

Per exemple, la distància entre dos punts en l'espai euclidià es troba amb l'arrel quadrada d'una forma quadràtica que conté sis variables: les tres coordenades espacials dels dos punts:

$d^2(p,q)=(x_p-x_q{)}^2+(y_p-y_q{)}^2+(z_p-z_q{)}^2=x_p^2+x_q^2-2x_p{x}_q+y_p^2+y_q^2-2y_p{y}_q+z_p^2+z_q^2-2z_p{z}_q.$

Notació matricial

Seguint els convenis de l'Àlgebra lineal, escriurem els vectors en columna: $𝒙=(x_1,\dots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$, on ${𝑽}^{\mathrm{T}}$ és la transposada de la matriu o del vector $𝑽$. Considerem la matriu $$𝑨=(A_{ij}{)}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{i=1,\dots ,n}{j=1,\dots ,n}}.$$ Aleshores, la forma quadràtica s'escriu $$Q(𝒙)={𝒙}^{\mathrm{T}}𝑨𝒙.$$
Definim la matriu $$𝑩=((A_{ij}+A_{ji})/2{)}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{i=1,\dots ,n}{j=1,\dots ,n}}=\frac{1}{2}(A+A^{\mathrm{T}}),$$Aquesta matriu és simètrica i es compleix que $$Q(𝒙)={𝒙}^{\mathrm{T}}𝑩𝒙.$$Per tant, sense pèrdua de generalitat, en moltes situacions es pot suposar que la matriu associada a una forma quadràtica (real) és simètrica.

Situacions més generals

Per veure la definició de formes quadràtiques en situacions més generals, vegeu, per exemple Plantilla:Harvcoltxt.