Teorema de Meyers-Serrin

En anàlisi funcional, el teorema de Meyers-Serrin consisteix en l'equivalència de dues definicions diferents dels espais de Sóbolev. El seu enunciat és

$W^{m,p}(\mathrm{\Omega })=H^{m,p}(\mathrm{\Omega })$Plantilla:,

Definicions

Les notacions són les que s'usen en l'article espai de Sóbolev.

Sigui Ω un conjunt obert qualsevol (no buit) de ${ℝ}^n$, dos conceptes que s'utilitzen sovint en la teoria de les equacions diferencials en derivades parcials i en el càlcul de variacions són els espais H i els espais W.

Més precisament, si $m$ és un nombre natural, $p$ és un nombre real tal que $1\le p<\mathrm{\infty }$ i $\alpha$ és un multi-índex, llavors

• $W^{m,p}$ és l'espai de Sóbolev:

$\{u\in {\mathrm{L}}^p(\mathrm{\Omega });D^{\alpha }u\in {\mathrm{L}}^p(\mathrm{\Omega }),\mathrm{\forall }\alpha \in {\mathbb{N}}^n:|\alpha |\le m\}$

proveït de la norma:

$\Vert u{\Vert }_{W^{m,p}}:={(\sum _{|\alpha |⩽m}\Vert D^{\alpha }u{\Vert }_{{\mathrm{L}}^p}^p)}^{1/p}$

on $D^{\alpha }u$ és una derivada parcial de $u$ en el sentit de les distribucions i

$\Vert .{\Vert }_{{\mathrm{L}}^p}$ designa la norma de l'espai de Lebesgue $L^p(\mathrm{\Omega })$.

• '$H^{m,p}(\mathrm{\Omega })$ és l'adherència dins de $W^{m,p}(\mathrm{\Omega })$ de $C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })\cap W^{m,p}(\mathrm{\Omega })$.

$\{u\in C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega });\Vert u{\Vert }_{H^{m,p}}<\mathrm{\infty }\}$

amb

$\Vert u{\Vert }_{H^{m,p}}:={(\sum _{|\alpha |⩽m}\Vert D^{\alpha }u{\Vert }_{{\mathrm{L}}^p}^p)}^{1/p}$

on $D^{\alpha }u$ és una derivada parcial de $u$ en el sentit clàssic ($u\in C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$).

Observació

Abans de la publicació del teorema, la igualtat H = W era demostrada per certs conjunts oberts Ω (que satisfessin certes propietats de regularitat).