Equació logarítmica

Una equació logarítmica és aquella en què la incògnita es troba darrere del símbol de l'operació logaritme. Per exemple, són equacions logarítmiques:

$\log (x)+\log (x^2)=3$, i també: $2\log (2x-2)=1$

En la resolució d'una equació logarítmica s'utilitzen la definició i les propietats dels logaritmes. Tingues en compte que perquè una solució sigui vàlida ha de verificar l'equació inicial. Si quan fem aquesta substitució apareix el logaritme d'un nombre negatiu o zero, la solució no és vàlida, perquè aquest logaritme no està definit.

Cal recordar que, quan la base del logaritme no figura, és 10. Així: $\log (x)={\log }_{10}(x)$

Propietats dels logaritmes

Per a qualsevol base $a$ tal que $a>0$ i $a\ne 1$, es verifica:

• ${\log }_a(1)=0$
• ${\log }_a(a)=1$
• ${\log }_a(x\cdot y)={\log }_a(x)+{\log }_a(y)$
• ${\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_a(x)-{\log }_a(y)$
• ${\log }_a(x^n)=n\cdot {\log }_a(x)$
• ${\log }_a(\sqrt[n]{x})=\left(\frac{1}{n}\right)\cdot {\log }_a(x)$
• ${\log }_a(x)={\log }_a(y)⟹x=y$

Resolució d'equacions logarítmiques

A continuació s'exposa un exemple de la forma per resoldre les equacions logarítmiques:

$\log (x)+\log (x^2)=3⟹\log (x)+2\log (x)=3⟹3\log (x)=3⟹\log (x)=1⟹x=10^1⟹x=10$

En aquest exemple, la solució és vàlida, perquè verifica l'equació inicial:

$\log (10)+\log (10^2)=3⟶1+2=3⟶3=3$