Fórmula de Sylvester

En teoria de matrius, la fórmula de Sylvester o teorema de matrius de Sylvester (en honor al matemàtic anglès J. J. Sylvester) o la interpolació de Lagrange−Sylvester expressa una funció analítica Plantilla:Math d'una matriu Plantilla:Mvar com el polinomi en Plantilla:Mvar, en termes dels valors propis i vectors propis de Plantilla:Mvar. Diu el següent

$f(A)=\sum _{i=1}^{k}f({\lambda }_i)A_i,$

on les Plantilla:Math són els valors propis de Plantilla:Mvar, i les matrius

$A_i\equiv \prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=1}{j\ne i}}^k\frac{1}{{\lambda }_i-{\lambda }_j}(A-{\lambda }_{j}I)$

són els covariants de Frobenius corresponents a Plantilla:Mvar, que són la matriu (projecció) dels polinomis de Lagrange de Plantilla:Mvar.

Condicions

La fórmula de Sylvester es pot aplicar en matrius diagonalitzables Plantilla:Mvar amb Plantilla:Mvar valors propis diferents, Plantilla:Mvar₁, …, λ_k, i amb qualsevol funció Plantilla:Mvar definida en algun subconjunt dels nombres complexos tal que Plantilla:Math estigui ben definida. Aquesta darrera condició significa que tot valor propi Plantilla:Math es troba en el domini de Plantilla:Mvar, i que tot valor propi Plantilla:Math amb multiplicitat Plantilla:Mvar_i > 1 es troba a l'interior del domini, sent Plantilla:Mvar (Plantilla:Math) vegades diferenciable en Plantilla:Math.Plantilla:Rp

Exemple

Consideri's la matriu 2 per 2

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 2\end{array}\right].$

Aquesta matriu té 2 valors propis: 5 i −2. Els seus covariants de Frobenius són

$\begin{array}{cc}{A}_1& =c_1{r}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1/7& 1/7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3/7& 3/7\\ 4/7& 4/7\end{array}\right]=\frac{A+2I}{5-(-2)}\\ A_2& =c_2{r}_2=\left[\begin{array}{c}1/7\\ -1/7\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}4& -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4/7& -3/7\\ -4/7& 3/7\end{array}\right]=\frac{A-5I}{-2-5}.\end{array}$

La fórmula de Sylvester és doncs

$f(A)=f(5)A_1+f(-2)A_2.$

Per exemple, si Plantilla:Mvar és definit com Plantilla:Math, llavors la fórmula de Sylvester expressa la inversa de la matriu Plantilla:Math com

$\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}3/7& 3/7\\ 4/7& 4/7\end{array}\right]-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}4/7& -3/7\\ -4/7& 3/7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-0.2& 0.3\\ 0.4& -0.1\end{array}\right].$

Generalització

La fórmula de Sylvester només és vàlida per matrius diagonalitzables. Una extensió atribuïda a A. Buchheim, basada en polinomis d'interpolació de Hermite, cobreix el cas general:

$f(A)=\sum _{i=1}^s[\sum _{j=0}^{n_i-1}\frac{1}{j!}{\varphi }_i^{(j)}({\lambda }_i)(A-{\lambda }_{i}I{)}^j\prod _{j=1,j\ne i}^s(A-{\lambda }_{j}I{)}^{n_j}]$,

on ${\varphi }_i(t):=f(t)/\prod _{j\ne i}(t-{\lambda }_j{)}^{n_j}$.

Schwerdtfeger va donar-ne una forma concisa

$f(A)=\sum _{i=1}^s{A}_i\sum _{j=0}^{n_i-1}\frac{f^{(j)}({\lambda }_i)}{j!}(A-{\lambda }_{i}I{)}^j$,

on Plantilla:Mvar_i són els covariants de Frobenius corresponents a Plantilla:Mvar

Vegeu també

• Matriu d'adjunts
• Càlcul funcional holomorf
• Resolvent

Bibliografia

• F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices v I (Chelsea Publishing, NY, 1960) Plantilla:ISBN, pp 101-103
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-publicació