Identitat de Palatini

En matemàtiques, la identitat de Palatini és una expressió, derivada pel matemàtic italià A. Palatini, emprada en teoria de la relativitat i càlcul tensorial:

$\delta R_{\sigma \nu }={\mathrm{\nabla }}_{\rho }(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho })-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\rho }),$

on $\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho }$ denota la variació dels símbols de Christoffel i ${\mathrm{\nabla }}_{\rho }$ indica la derivada covariant.

La identitat es pot derivar a partir de l'acció d'Hilbert–Einstein.

La "mateixa" identitat funciona per a la derivada de Lie ${ℒ}_{\xi }{R}_{\sigma \nu }$ :

${ℒ}_{\xi }{R}_{\sigma \nu }={\mathrm{\nabla }}_{\rho }({ℒ}_{\xi }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho })-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }({ℒ}_{\xi }{\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\rho }),$

on $\xi ={\xi }^{\rho }{\partial }_{\rho }$ denota qualsevol camp vectorial a la varietat d'espaitemps $M$.