Nombre racional de Gauss

En matemàtiques, els nombres racionals de Gauss, o simplement racionals de Gauss, són els nombres complexos les parts real i imaginària dels quals són nombres racionals. Formen el cos Q(i) dels nombres de Gauss, que té com a anell de nombres enters els nombres enters de Gauss Z[i]. Els va estudiar per primer cop el matemàtic alemany Carl Friedrich Gauss.

Definició

Un nombre complex z és un nombre racional de Gauss si i només si $z=p+qi$, on $p,q\in 𝐐$

Norma

La norma del nombre de Gauss $z=p+qi$ és:

$N(z)=z\overline{z}=(p+qi)\cdot (p-qi)=p^2+q^2$,

que és sempre un nombre racional positiu.

Propietats

• Grup abelià: El conjunt Q(i) amb l'addició de nombres de Gauss és un grup abelià, que té un subgrup propi: el conjunt Z[i] dels enters de Gauss.
• Cos: El conjunt Q(i) amb l'adició i la multiplicació de nombre de Gauss és un grup commutatiu