Teorema de Siegel–Walfisz

En teoria analítica de nombres, el teorema de Siegel–Walfisz va ser derivat per Arnold Walfisz com a aplicació del teorema de Carl Ludwig Siegel en nombres primers en una progressió aritmètica.

Enunciat del teorema de Siegel–Walfisz

Es defineix

$\psi (x;q,a)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{n\le x}{n\equiv a(\mathrm{mod}q)}}\mathrm{\Lambda }(n),$

on $\mathrm{\Lambda }$ denota la funció de von Mangoldt i φ és la funció φ d'Euler.

El teorema expressa que, donat un nombre real qualsevol N, existeix una constant positiva C_N que depèn únicament de N tal que

$\psi (x;q,a)=\frac{x}{\phi (q)}+O(x\exp (-C_N(\log x{)}^{\frac{1}{2}})),$

sempre que (a, q) = 1 i

$q\le (\log x{)}^N.$

La constant C_N no és efectiva computacionalment perquè el teorema Siegel és inefectiu.

Del teorema es pot deduir la següent forma del teorema dels nombres primers per a progressions aritmètiques: si, per (a,q)=1, mitjançant $\pi (x;q,a)$ denotem el nombre de primers menor o iguals que x que són congruents amb a mod q, llavors

$\pi (x;q,a)=\frac{\mathrm{L}\mathrm{i}(x)}{\phi (q)}+O(x\exp (-\frac{C_N}{2}(\log x{)}^{\frac{1}{2}})),$

on N, a, q, C_N i φ són definits com en el teorema, i Li denota la integral logarítmica desplaçada.