Límit

En matemàtiques, la noció de límit és força intuïtiva, malgrat la seva formulació abstracta. Amb l'objectiu de donar-ne una introducció simple, en aquest article es tracta només el cas de les successions de nombres reals i el cas de les funcions reals d'una variable real.

Límit d'una successió

Introducció

Les successions són les funcions amb domini de definició ℕ, o, a vegades ℤ (sobretot en anàlisi de Fourier). Aquí tractarem només el primer cas.

Ara, cada enter és un punt aïllat; en altres mots, no podem acostar-nos a $n\in \mathbb{N}$ mitjançant diferents punts de ℕ. Això implica que no es considera la idea de límit d'una successió en un enter finit: hi ha de fet només el seu valor.

Considerem doncs només la noció de límit per a $n\to +\mathrm{\infty }$; l'anomenarem «límit de la successió».

Definició, convergència, divergència

• Cas del límit finit $l\in ℝ$: per a tot «descart de tolerància» $ϵ>0$ existeix un «enter de confidència» $N_0\in \mathbb{N}$ tal que, per a tot n més gran que $N_0$, el valor $u_n$ és prop de l per a menys de ε: $n\ge N_0\Rightarrow l-ϵ\le u_n\le l+ϵ$.

Quan existeix, el límit l és únic; s'escriu llavors $\lim (u_n{)}_n=l$, i es diu que $(u_n{)}_n$ tendeix (o també convergeix) cap a l.

Una successió que admet un límit finit és anomenada convergent. Hom té el teorema següent: Cada successió convergent és fitada.

• Cas del límit infinit: distingim dos casos:

A) $+\mathrm{\infty }$ i B) $-\mathrm{\infty }$.

Per a cada « llindar de tolerància » $M>0$ cal que es pugui trobar un « enter de confidència » $N_0\in \mathbb{N}$ a partir del qual els valors de $|(u_n)|$ siguin superiors a $M$ i els $(u_n)$ es mantinguin positius -en el cas A)- i negatius -en el cas B)-:

• $n\ge N_0\Rightarrow |u_n|\ge M$ per a $\lim (u_n)=+\mathrm{\infty }$
• $n\ge N_0\Rightarrow u_n\le M$ per a $\lim (u_n)=-\mathrm{\infty }$.

A més, en el cas A) $n\ge N_0\Rightarrow u_n>0$ i en el cas B) $n\ge N_0\Rightarrow u_n<0$.

Se diu llavors que $(u_n)$ tendeix (o divergeix) a: A) $+\mathrm{\infty }$, B) $-\mathrm{\infty }$.

NB: Es parla de successió convergent només quan una successió admet un límit finit, de successió divergent en els casos A) i B), de successió indeterminada en tots els altres casos.

NB: Es pot també parlar de límit $\mathrm{\infty }$ quan $\lim \frac{1}{u_n}=0$. Això resumeix els casos A) i B) i, a més, el cas on $n\ge N_0\Rightarrow |u_n|\ge M$ però els $(u_n)$ poden canviar signe de manera arbitrària.

Sub-successions

Es parla de sub-successió de la successió $(u_n)$ quan se seleccionen "només uns quants" elements de $(u_n)$: així es considera només una part de la informació. L'exemple més clàssic és aquell de les sub-successions $(u_{2n})$ dels termes de rang parell, i $(u_{2n+1})$ dels termes de rang imparell.

Més generalment, es designa amb el terme « extracció » cada aplicació $\varphi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ estrictament creixent. Llavors una sub-successió és una successió de la forma $(u_{\varphi (n)})$.

Una propietat important és que una successió $(u_n)$ admet límit (finit o infinit) si i només si cada sub-successió $(u_{\varphi (n)})$ admet el mateix límit.

Linealitat del passatge al límit

L'operació de passatge al límit és lineal en el sentit següent :

si (x_n) i (y_n) són unes successions reals convergents i tals que lim x_n = L i lim y_n = P, llavors

• la successió (x_n + y_n) convergeix a L + P.
• Si a és un nombre real, llavors la successió (a x_n) convergeix a L.

Així, el conjunt C de totes les successions reals convergents és un espai vectorial real i l'operació de passatge al límit és una forma lineal real sobre C. Si (x_n) i (y_n) són unes successions reals convergents amb límits L i P respectivament, llavors la successió (x_ny_n) convergeix a LP. Doncs l'espai vectorial C és de fet una àlgebra real.

Si P no és 0, llavors es pot trobar $N\in \mathbb{N}$ tal que la successió (x_n/y_n), amb $n\ge N$ és bé definita i convergent amb límit L/P.

Cada successió convergent és fitada, puix que tots els termes, salvat un nombre finit, estan dins un interval al voltant del límit. Si (x_n) és una successió de reals, fitada damunt i creixent (-o també fitada davall i decreixent-), llavors és convergent.

Cada successió de Cauchy de nombres reals és convergent, o més simplement: el conjunt dels nombres reals és complet.

Exemples

• La successió (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) de nombres reals és convergent, amb límit 0.
• La successió (3, 3, 3, 3, 3, ...) és convergent de límit 3.
• La successió $n\mapsto u(n):=(-1{)}^n=(-1,1,-1,1,...)$ no és convergent, però les seves sub-successions $n\mapsto u(2n)$ i $n\mapsto u(2n+1)$ ho són.
• La successió (1, -2, 3, -4, 5, ...) té límit $\mathrm{\infty }$.
• La successió (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ...) és convergent, amb límit 1. Aquesta successió és un exemple de sèrie geomètrica.
• Si a és un nombre real de valor absolut |a| < 1, llavors la successió de terme general aⁿ té límit 0.
• Si a >0, llavors la successió de terme general a^1/n té límit igual a 1.
• La successió $n\mapsto u(n):=(1+1/n{)}^n$ convergeix a e i, per a tot nombre real (de fet complex) x, la successió $n\mapsto u(n):=(1+x/n{)}^n$ convergeix a $e^x$.

Límits de funcions

Convé distingir el cas del límit en un punt real finit i el cas del límit a l'infinit ("positiu" o "negatiu").

Límit d'una funció a un punt a

Definició

Sigui $f(x)$ : $R\to ℝ$

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ = $l\in ℝ$ ⇔ ∀ε>0, ∃ $\delta$ > 0 / ∣f(x)-L∣ < ε, ∀x ∈ (a- $\delta$,a) ∪ (a, a+$\delta$)

Límits finits

Si $f$ és una funció real de variable real i $a$ un punt del domini de definició de f, es diu que $l\in ℝ$ és el límit de $f$ en $a$ si :

• intuïtivament, $f(x)$ s'acosta a $l$ en la mesura que $x$ s'acosta a $a$ ;
• amb més rigor, per a tot « descart de tolerància » $ϵ>0$ es pot trobar un « descart de confidència » $\delta >0$ tal que, quan $x$ és prop de $a$ a menys de $\delta$, llavors $f(x)$ és prop de $l$ a menys de $ϵ$.

En símbols: $a-\delta \le x\le a+\delta \Rightarrow l-ϵ\le f(x)\le l+ϵ$

(il·lustració 1)

En altres mots, es pot fer $f(x)$ tant prop de $l$ que se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de $a$.

En aquest cas, s'escriu $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=l$.

Límits infinits

Pot també succeir que al punt $a$ la funció $f$ no hi hagi límit finit, sinó infinit. Això vol dir que, s'acostant a $a$ el valor de $f$ "s'acosta" a $+\mathrm{\infty }$ o a $-\mathrm{\infty }$; és a dir, esdeven grandPlantilla:Què quant se vol en valor absolut i es manten de signe positiu (cas de $+\mathrm{\infty }$) o negatiu ($-\mathrm{\infty }$).

La formulació matemàtica és llavors la següent : per a cada « llindar de tolerància » $M>0$ es pot trobar un « descart de confidència » $\delta >0$ tal que, dès que $x$ és prop de $a$ a menys de $\delta$, llavors $|f(x)|$ és major que $M$ i $f$ es manten de signe constant: $a-\delta \le x\le a+\delta \Rightarrow |f(x)|\ge M$ i: $f(x)>0$ per al cas del límit $+\mathrm{\infty }$, $f(x)<0$ per al cas del límit $-\mathrm{\infty }$.

(il·lustració 2)

En altres mots, es pot fer $f(x)$ tant prop de $\pm \mathrm{\infty }$ que se vol, sobre un interval -si prou petit-, al voltant de $a$.

En aquest cas s'escriu $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ (o $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$).

Infinit sense signe

NB: També per a les funcions de variable real (però és més utilitzat a l'anàlisi complexa), es pot parlar de límit $\mathrm{\infty }$, quan $\underset{x\to a}{\lim }1/f(x)=0$. Això resumeix els casos $\pm \mathrm{\infty }$ i, a més, el cas on $a-\delta \le x\le a+\delta \Rightarrow |f(x)|\ge M$ però $f$ pot canviar signe de manera arbitrària. Això no pot succeir per a funcions contínues en $(a-\delta ,x)\bigcup (x,a+\delta )$.

Límits per l'esquerra, per la dreta

Pot succeir també que el comportament local de la funció $f$ sigui different « per l'esquerra » de $a$ (és a dir per a les $x<a$) i « per la dreta » de $a$ (és a dir per a les $x>a$). Per exemple, una funció pot admetre un límit per la dreta i no per l'esquerra, o també admetre dos límits diferents de cada costat.

(il·lustració 3)

Hom és doncs portat a introduir les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra; la sola diferència amb els límits « normals » és que la proximitat de $f(x)$ amb $l$ o $\pm \mathrm{\infty }$ és demanada només per a un costat de $a$. Les definicions i notacions corresponents esdevenen doncs :

• per al límit per l'esquerra :

$\underset{x\to a,x<a}{\lim }f(x)=l,$ quan

$a-\delta \le x<a\Rightarrow l-ϵ\le f(x)\le l+ϵ$

$\underset{x\to a,x<a}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ quan

$a-\delta \le x<a\Rightarrow f(x)\ge M$

• per al límit per la dreta :

$\underset{x\to a,x>a}{\lim }f(x)=l,$ quan

$a<x\le a+\delta \Rightarrow l-ϵ\le f(x)\le l+ϵ$

$\underset{x\to a,x>a}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ quan

$a<x\le a+\delta \Rightarrow f(x)\ge M$

Les nocions de límit per la dreta i per l'esquerra són menys resrictives que la noció clàssica de límit « bilateral » : una funció pot tenir un límit per l'esquerra i un límit per la dreta sense tenir un límit bilateral. De fet hom heu la propietat:

Una funció té un límit en un punt $a$ si i només si té un límit per l'esquerra $l_e$ i un límit per la dreta $l_d$ i aquests són iguals : $l_g=l_d$

Límit d'una funció a l'infinit

Ara considerem el comportament d'una funció f -definida per a cada x prou gran en valor absolut- « als límits » del domini de definició, sigui quan $x$ creix indefinidament (límit en $+\mathrm{\infty }$), sigui quan $x$ decreix indefinidament (límit en $-\mathrm{\infty }$).

Es pot notar que, en aquest context, la noció de límit per la dreta o per l'esquerra no heu sentit; de fet els límits en $+\mathrm{\infty }$ són sempre uns límits per l'esquerra i els límits en $-\mathrm{\infty }$ són sempre uns límits per la dreta.

Límits finits

El límit de una funció a més infinit és L si, per a tot ε > 0 existeix S > 0; tal que |f(x)-L| < ε per a tot x > S.

Direm que la funció $f$ admet el límit finit $l$ en $+\mathrm{\infty }$ si$f(x)$ s'acosta a $l$ en la mesura que $x$ esdeven més gran (o « tendeix a $+\mathrm{\infty }$ »).

Matemàticament, això és traduït mitjançant el fet que, per a tot « descart de tolerància » $ϵ>0$ es pot trobar una « llindar de confidència » $M>0$ després de la qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, de centre $l$ i radi $ϵ$, és a dir: $x\ge M\Rightarrow$$l-ϵ\le f(x)\le l+ϵ$

En altres mots, es pot fer $f(x)$ tant prop de $l$ que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran. En aquest cas s'escriu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=l$.

Tot això s'adapta senzillament al cas del límit en $-\mathrm{\infty }$ : es diu que $f(x)$ tendeix a $l$ quan $x$ tendeix a $-\mathrm{\infty }$ si per a tot descart $ϵ>0$ es pot trobar una llindar $M<0$ tal que: $x\le M$$\Rightarrow l-ϵ\le f(x)\le l+ϵ$, i s'escriurà $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=l$.

Límits infinits

Direm que la funció $f$ admet el límit $\pm \mathrm{\infty }$ en $+\mathrm{\infty }$ si$|f(x)|$ esdevé arbitràriament gran en la mesura que $x$ esdevé més gran (o « tendeix a $+\mathrm{\infty }$ »). De més, $f(x)$ resta amb signe positiu ($+\mathrm{\infty }$) o negatiu ($-\mathrm{\infty }$) per a tals x. La permanència del signe no és demanada si hom parla només de límit $\mathrm{\infty }$.

Matemàticament, això es tradueix mitjançant el fet que, per a tot « llindar de tolerància » $K>0$ es pot trobar un «llindar de confidència» $M>0$ després del qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, és a dir $(K,+\mathrm{\infty })$ (cas $+\mathrm{\infty }$), $(-\mathrm{\infty },-K)$ (cas $-\mathrm{\infty }$) o $(-\mathrm{\infty },-K)\bigcup (K,+\mathrm{\infty })$ (cas $\mathrm{\infty }$).

(il·lustració 5)

En altres mots, es pot fer $f(x)$ tant prop de $\pm \mathrm{\infty }$ (o $\mathrm{\infty }$) que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran.

En aquest cas s'escriu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }$ o $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$.

Tot això s'adapta senzillament al cas del límit en $-\mathrm{\infty }$ : direm que la funció $f$ admet el límit $\pm \mathrm{\infty }$ en $-\mathrm{\infty }$ si$|f(x)|$ esdeven arbitràriament gran en la mesura que $x$ esdeven més gran en valor absolut, mes ha signe negatiu (o « tendeix a $-\mathrm{\infty }$ »). De més, $f$ resta amb signe positiu ($+\mathrm{\infty }$) o negatiu ($-\mathrm{\infty }$) per a tals x.

La permanència del signe no és demanada si hom parla només de límit $\mathrm{\infty }$.

Matemàticament, això es tradueix mitjançant el fet que, per a tot « llindar de tolerància » $K>0$ es pot trobar un « llindar de confidència » $M<0$ abans del qual la nostra funció prendrà valors dintre de l'interval de tolerància, és a dir $(K,+\mathrm{\infty })$ (cas $+\mathrm{\infty }$), $(-\mathrm{\infty },-K)$ (cas $-\mathrm{\infty }$) o $(-\mathrm{\infty },-K)\bigcup (K,+\mathrm{\infty })$ (cas $\mathrm{\infty }$).

(il·lustració 6)

En altres mots, es pot fer $f(x)$ tant prop de $\pm \mathrm{\infty }$ (o $\mathrm{\infty }$) que se vol, a partir d'una llindar convenient, és a dir prou gran.

En aquest cas s'escriu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }$ o $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$.

L'operació de passatge al límit (o al límit per la dreta/esquerra) és lineal també per a les funcions de variable real, en el sentit següent: sigui x₀ un punt de la dreta real acabada, és a dir un nombre real finit o $\pm \mathrm{\infty }$.

• Si f i g són unes funcions de variable real que admeten límits L i P a x₀, llavors també la funció f+g hi admet límit, i aquest límit és L+P.
• Si a és un nombre real, llavors la funció a f admet límit a x₀, i aquest límit és aL.

Així, el conjunt K de totes les funcions que admeten límit a x₀ és un espai vectorial real i l'operació de passar al límit és una forma lineal real sobre K.

Si f i g són unes funcions de variable real que admeten límits L i P a x₀, llavors també la funció fg hi admet límit, i aquest límit és LP, així l'espai vectorial K es de fet una àlgebra real.

Si P no és 0, llavors es pot trobar un interval al voltant de x₀ on f/g està ben definida; el seu límit a x₀ és L/P.

Exemples

• El límit de $x\mapsto \frac{1}{x}$ quan x tendeix a $\pm \mathrm{\infty }$ és igual a 0.

Clau de la demostració per a $+\mathrm{\infty }$: si $x\ge M$, llavors $\frac{1}{x}\le 1/M$.

• El límit per la dreta de $x\mapsto \frac{1}{x}$ quan x tendeix a 0 (0⁺) és $+\mathrm{\infty }$.

Clau de la demostració: si $0<x\le \delta$, llavors $\frac{1}{x}\ge \frac{1}{\delta }$.

• El límit per l'esquerra de $x\mapsto \frac{1}{x}$ quan x tendeix a 0 (0^-) és $-\mathrm{\infty }$.
• El límit (bilateral) de $x\mapsto \frac{1}{x}$ quan x tendeix a 0 és $\mathrm{\infty }$ sense signe, és a dir $x\mapsto \frac{1}{1/x}$ tendeix a 0 quan x tendeix a 0, puix que $\frac{1}{1/x}=x$. Recordeu que

$\mathrm{\infty }$ sense signe és més utilitzat en anàlisi complexa. Vegeu també la nota anterior.

• El límit de $x\mapsto x^2$ quan x tendeix a 3 és igual a 9 (En aquest cas la funció és definita i contínua en aquest punt, i el valor de la funció és igual al seu límit).

Clau de la demostració: si $2\le x\le 4$, llavors $|x^2-9|=|(x+3)|\cdot |(x-3)|\le 7\cdot |(x-3)|$.

• El límit de $x\mapsto |x{|}^{|x|}$ quan x tendeix a 0 és igual a 1.
• El límit de $x\mapsto \frac{(a+x{)}^2-a^2}{x}$ quan x tendeix a 0 és igual a 2a.
• El límit per la dreta de $x\mapsto \frac{|x|}{x}$ quan x tendeix a 0 és igual a 1; el límit per l'esquerra és igual a -1.
• El límit de $x\mapsto \frac{\sin x}{x}$ quan x tendeix a 0 és igual a 1.
• El límit de $x\mapsto \frac{\cos (x)-1}{x}$ quan x tendeix a 0 és igual a 0.
• El límit de $x\mapsto \frac{\cos (x)-1}{x^2}$ quan x tendeix a 0 és igual a -1/2.
• El límit de $x\mapsto \frac{\sin x}{x}+|x{|}^{|x|}$ quan x tendeix a 0 és igual a 2.
• El límit de $x\mapsto \frac{\sin x}{x}\cdot |x{|}^{|x|}$ quan x tendeix a 0 és igual a 1.

Lligam entre els límits de successions i de funcions

Es pot provar que $\underset{x\to +x_0}{\lim }f(x)=y_0\iff \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(u_n)=y_0$ per a cada successió ${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ tal que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n=x_0$, és a dir per a cada successió convergent a $x_0$.

Vegeu també

• Teorema del límit central
• Mètodes infinitesimals
• Convergència uniforme
• Indeterminació (límit)