Pseudoespectre

En matemàtiques, el pseudoespectre d'un operador és un conjunt que conté l'espectre de l'operador i els valors que són "gairebé" valors propis. El pseudoespectre resulta particularment útil per a entendre els operadors no normals i les seves funcions pròpies.

El $ϵ$-pseudoespectre d'una matriu $A$ està constituït per tots els valors propis de les matrius $ϵ$-properes a $A$:

$${\mathrm{\Lambda }}_{ϵ}(A)=\{\lambda \in ℂ\mid \mathrm{\exists }x\in {ℂ}^n\setminus \{0\},\mathrm{\exists }E\in {ℂ}^{n\times n}:(A+E)x=\lambda x,\Vert E\Vert \le ϵ\}.$$

Els mètodes numèrics per al càlcul dels valors propis d'una matriu cometen errors a causa de l'arrodoniment i altres factors. Aquests errors poden descriure's mitjançant la matriu $E$.

De forma més general, considerant espais de Banach $X,Y$, pot definirse el $ϵ$-pseudoespectre de l'operador $A:X\to Y$ (denotat per ${\text{sp}}_{ϵ}(A)$) de la següent manera:$${\text{sp}}_{ϵ}(A)=\{\lambda \in ℂ\mid \Vert (A-\lambda I{)}^{-1}\Vert \ge 1/ϵ\},$$on, per conveni, es considera $\Vert (A-\lambda I{)}^{-1}\Vert =\mathrm{\infty }$ si $A-\lambda I$ no és invertible.

Referències

• Lloyd N. Trefethen i Mark Embree: "Spectra And Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrius And Operators", Princeton Univ. Press, Plantilla:ISBN (2005).
• Pseudospectra Gateway / Embree i Trefethen [1]