Prova d'intercanvi

Circuit que implementa la prova d'intercanvi entre dos estats $|\varphi ⟩$ i $|\psi ⟩$

La prova d'intercanvi és un procediment de càlcul quàntic que s'utilitza per comprovar quant difereixen dos estats quàntics, que apareix per primera vegada al treball de Barenco et al. i posteriorment redescoberta per Harry Buhrman, Richard Cleve, John Watrous i Ronald de Wolf. Apareix habitualment en l'aprenentatge automàtic quàntic i és un circuit utilitzat per a proves de concepte en implementacions d'ordinadors quàntics.

Formalment, la prova d'intercanvi pren dos estats d'entrada $|\varphi ⟩$ i $|\psi ⟩$ i produeix una variable aleatòria de Bernoulli que és 1 amb probabilitat $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{|⟨\psi |\varphi ⟩|}^2$ (on les expressions aquí utilitzen la notació bra–ket). Això permet, per exemple, estimar el producte interior quadrat entre els dos estats, ${|⟨\psi |\varphi ⟩|}^2$, a $\epsilon$ error additiu agafant la mitjana $O(\frac{1}{{\epsilon }^2})$ execucions de la prova d'intercanvi. Això requereix $O(\frac{1}{{\epsilon }^2})$ còpies dels estats d'entrada. El producte interior quadrat mesura aproximadament la "superposició" entre els dos estats i es pot utilitzar en aplicacions algebraiques lineals, inclosa la agrupació d'estats quàntics.

Explicació del circuit

Considereu dos estats: $|\varphi ⟩$ i $|\psi ⟩$ . L'estat del sistema al començament del protocol és $|0,\varphi ,\psi ⟩$ . Després de la porta Hadamard, l'estat del sistema és $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0,\varphi ,\psi ⟩+|1,\varphi ,\psi ⟩)$ . La porta SWAP controlada transforma l'estat en $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0,\varphi ,\psi ⟩+|1,\psi ,\varphi ⟩)$ . La segona porta Hadamard resulta$$\frac{1}{2}(|0,\varphi ,\psi ⟩+|1,\varphi ,\psi ⟩+|0,\psi ,\varphi ⟩-|1,\psi ,\varphi ⟩)=\frac{1}{2}|0⟩(|\varphi ,\psi ⟩+|\psi ,\varphi ⟩)+\frac{1}{2}|1⟩(|\varphi ,\psi ⟩-|\psi ,\varphi ⟩)$$La porta de mesura del primer qubit assegura que sigui 0 amb una probabilitat de$$P(\text{Primer qubit}=0)=\frac{1}{2}(⟨\varphi |⟨\psi |+⟨\psi |⟨\varphi |)\frac{1}{2}(|\varphi ⟩|\psi ⟩+|\psi ⟩|\varphi ⟩)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{|⟨\psi |\varphi ⟩|}^2$$quan es mesura. Si $\psi$ i $\varphi$ són ortogonals $({|⟨\psi |\varphi ⟩|}^2=0)$, aleshores la probabilitat que es mesura 0 és $\frac{1}{2}$ . Si els estats són iguals $({|⟨\psi |\varphi ⟩|}^2=1)$, aleshores la probabilitat que es mesura 0 és 1.

En general, per $P$ proves de la prova d'intercanvi utilitzant $P$ còpies de $|\varphi ⟩$ i $P$ còpies de $|\psi ⟩$, la fracció de mesures que són zero és $1-\frac{1}{P}{\sum }_{i=1}^P{M}_i$, així que prenent $P\to \mathrm{\infty }$, es pot obtenir una precisió arbitrària d'aquest valor.