Operador rotacional quàntic

Operador de rotació que actua sobre una funció d'ona.

Els operadors rotacionals, les seves representacions matricials i el seu efecte sobre els estats quàntics són una part essencial de la mecànica quàntica dels sistemes microscòpics. Tractaments a nivell de grau d'aquest tema (cf. Gottfried 1966; Shankar 1980; Messiah 1966; Schiff 1968; Merzbacher 1970; Sakurai 1985; Bohm 1979; Cohen-Tannoudji et al. 1977) l'operador de rotació d'Hilbert i la introducció de l'espai La parametrització de l'angle d'Euler de les rotacions condueix a curt termini a les matrius de rotació de Wigner. Aquestes matrius, al seu torn, s'utilitzen àmpliament en una varietat d'aplicacions.

Rotacions mecàniques quàntiques

Amb cada rotació física $R$, postulem un operador de rotació mecànica quàntica $D(R)$ que fa girar els estats mecànics quàntics.

$$|\alpha {⟩}_R=D(R)|\alpha ⟩$$Pel que fa als generadors de rotació,

$$D(\widehat{𝐧},\varphi )=\exp (-i\varphi \frac{\widehat{𝐧}\cdot 𝐉}{\hslash }),$$ on $\widehat{𝐧}$ és l'eix de rotació, $𝐉$ és el moment angular, i $\hslash$ és la constant de Planck reduïda.

L'operador de translació

L'operador de rotació $\mathrm{R}(z,\theta )$, amb el primer argument $z$ indicant l'eix de rotació i el segon $\theta$ l'angle de rotació, pot funcionar mitjançant l'operador de translació $\mathrm{T}(a)$ per a rotacions infinitesimals com s'explica a continuació. Per això, primer es mostra com l'operador de translació està actuant sobre una partícula a la posició x (la partícula es troba llavors en l'estat $|x⟩$ segons la mecànica quàntica).

Translació de la partícula en posició $x$ a posicionar $x+a$: $\mathrm{T}(a)|x⟩=|x+a⟩$

Com que una translació de 0 no canvia la posició de la partícula, tenim (amb 1 significa l'operador d'identitat, que no fa res):

$$\mathrm{T}(0)=1$$$$\mathrm{T}(a)\mathrm{T}(da)|x⟩=\mathrm{T}(a)|x+da⟩=|x+a+da⟩=\mathrm{T}(a+da)|x⟩\Rightarrow \mathrm{T}(a)\mathrm{T}(da)=\mathrm{T}(a+da)$$El desenvolupament de Taylor dóna:

$$\mathrm{T}(da)=\mathrm{T}(0)+\frac{d\mathrm{T}(0)}{da}da+\cdots =1-\frac{i}{\hslash }{p}_{x}da$$ amb

$$p_x=i\hslash \frac{d\mathrm{T}(0)}{da}$$D'això segueix:

$$\mathrm{T}(a+da)=\mathrm{T}(a)\mathrm{T}(da)=\mathrm{T}(a)(1-\frac{i}{\hslash }{p}_{x}da)\Rightarrow \frac{\mathrm{T}(a+da)-\mathrm{T}(a)}{da}=\frac{d\mathrm{T}}{da}=-\frac{i}{\hslash }{p}_x\mathrm{T}(a)$$Aquesta és una equació diferencial amb la solució

$$\mathrm{T}(a)=\exp (-\frac{i}{\hslash }{p}_{x}a).$$A més, suposem un hamiltonià $H$ és independent de la $x$ posició. Perquè l'operador de traducció es pot escriure en termes de $p_x$, i $[p_x,H]=0$, ho sabem $[H,\mathrm{T}(a)]=0.$ Aquest resultat significa que es conserva el moment lineal del sistema.