Tensor d'estrès-energia electromagnètic

Plantilla:ElectromagnetismeEn la física relativista, el tensor d'estrès-energia electromagnètic és la contribució al tensor d'estrès-energia a causa del camp electromagnètic. El tensor tensió-energia descriu el flux d'energia i moment en l'espai-temps. El tensor d'estrès electromagnètic-energia conté el negatiu del tensor d'estrès de Maxwell clàssic que governa les interaccions electromagnètiques.

Unitats SI

A l'espai lliure i a l'espai-temps pla, el tensor esforç electromagnètic-energia en unitats SI és

$T^{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}[F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }-\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }].$

on $F^{\mu \nu }$ és el tensor electromagnètic i on ${\eta }_{\mu \nu }$ és el tensor mètric de Minkowski de signatura mètrica Plantilla:Nowrap i s'utilitza la convenció de suma d'Einstein sobre índexs repetits. Quan s'utilitza la mètrica amb signatura Plantilla:Nowrap, el segon terme de l'expressió a la dreta del signe igual tindrà signe oposat.

Explícitament en forma de matriu:

$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)& \frac{1}{c}{S}_{\text{x}}& \frac{1}{c}{S}_{\text{y}}& \frac{1}{c}{S}_{\text{z}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{x}}& -{\sigma }_{\text{xx}}& -{\sigma }_{\text{xy}}& -{\sigma }_{\text{xz}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{y}}& -{\sigma }_{\text{yx}}& -{\sigma }_{\text{yy}}& -{\sigma }_{\text{yz}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{z}}& -{\sigma }_{\text{zx}}& -{\sigma }_{\text{zy}}& -{\sigma }_{\text{zz}}\end{array}\right],$

on

$𝐒=\frac{1}{{\mu }_0}𝐄\times 𝐁,$

és el vector de Poynting ,

${\sigma }_{ij}={ϵ}_0{E}_i{E}_j+\frac{1}{{\mu }_0}{B}_i{B}_j-\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2){\delta }_{ij}$

és el tensor de tensió de Maxwell, i c és la velocitat de la llum. Així, $T^{\mu \nu }$ s'expressa i es mesura en unitats de pressió SI (pascals).

Convencions de la unitat CGS

La permitivitat de l'espai lliure i la permeabilitat de l'espai lliure en unitats cgs-gaussianes són

${ϵ}_0=\frac{1}{4\pi },{\mu }_0=4\pi$

llavors:

$T^{\mu \nu }=\frac{1}{4\pi }[F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }-\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }].$

i en forma de matriu explícita:

$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{8\pi }(E^2+B^2)& \frac{1}{c}{S}_{\text{x}}& \frac{1}{c}{S}_{\text{y}}& \frac{1}{c}{S}_{\text{z}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{x}}& -{\sigma }_{\text{xx}}& -{\sigma }_{\text{xy}}& -{\sigma }_{\text{xz}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{y}}& -{\sigma }_{\text{yx}}& -{\sigma }_{\text{yy}}& -{\sigma }_{\text{yz}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{z}}& -{\sigma }_{\text{zx}}& -{\sigma }_{\text{zy}}& -{\sigma }_{\text{zz}}\end{array}\right]$

on el vector de Poynting es converteix en

$𝐒=\frac{c}{4\pi }𝐄\times 𝐁.$

El tensor d'estrès-energia per a un camp electromagnètic en un medi dielèctric és menys conegut i és el tema de la controvèrsia no resolta d'Abraham-Minkowski.

L'element $T^{\mu \nu }$ del tensor tensió-energia representa el flux del component μ -è del quatre moments del camp electromagnètic, $P^{\mu }$, passant per un hiperplà ( $x^{\nu }$ és constant). Representa la contribució de l'electromagnetisme a la font del camp gravitatori (corbadura de l'espai-temps) en la relativitat general.

Propietats algebraiques

La simetria del tensor és com per a un tensor esforç-energia general en relativitat general. La traça del tensor energia-impuls és un escalar de Lorentz ; el camp electromagnètic (i en particular les ones electromagnètiques) no té una escala d'energia invariant de Lorentz, de manera que el seu tensor d'energia-impuls ha de tenir una traça que s'esvaeix. Aquesta falta de rastre es relaciona finalment amb la falta de massa del fotó.