Polinomi mínim (àlgebra lineal)

En àlgebra lineal, el polinomi mínim Plantilla:Math d'una matriu Plantilla:Mvar Plantilla:Math sobre un camp Plantilla:Math és el polinomi mònic Plantilla:Mvar sobre Plantilla:Math de grau mínim tal que Plantilla:Math. Qualsevol altre polinomi Plantilla:Mvar amb Plantilla:Math és un múltiple (polinomi) de Plantilla:Math.

Les tres afirmacions següents són equivalents :

1. λ és una arrel de μA,
2. λ és una arrel del polinomi característic χA de A,
3. λ és un valor propi de la matriu A

La multiplicitat d'una arrel Plantilla:Mvar de Plantilla:Math és la potència més gran Plantilla:Mvar tal que Plantilla:Math conté estrictament Plantilla:Math. En altres paraules, augmentar l'exponent fins a Plantilla:Mvar donarà nuclis cada cop més grans, però augmentar l'exponent més enllà de Plantilla:Mvar només donarà el mateix nucli.

Si el camp Plantilla:Math no està tancat algebraicament, aleshores els polinomis mínims i característics no necessiten factoritzar només segons les seves arrels (en Plantilla:Math ), és a dir, poden tenir factors polinomials irreductibles de grau superior a Plantilla:Math. Per als polinomis irreductibles Plantilla:Mvar es tenen equivalències semblants:

1. P divideix μA,
2. P divideix χA,
3. el nucli de P(A) té una dimensió almenys 1.
4. el nucli de P(A) té una dimensió almenys deg(P).

Igual que el polinomi característic, el polinomi mínim no depèn del camp base. En altres paraules, considerar la matriu com una amb coeficients en un camp més gran no canvia el polinomi mínim. La raó d'això difereix del cas del polinomi característic (on és immediat a partir de la definició de determinants), és a dir, pel fet que el polinomi mínim està determinat per les relacions de dependència lineal entre les potències de Plantilla:Mvar : ampliant el camp base. no introduirà cap relació nova d'aquest tipus (ni, per descomptat, eliminarà les existents).

El polinomi mínim és sovint el mateix que el polinomi característic, però no sempre. Per exemple, si Plantilla:Mvar és un múltiple Plantilla:Math de la matriu identitat, aleshores el seu polinomi mínim és Plantilla:Math ja que el nucli de Plantilla:Math ja és tot l'espai; en canvi el seu polinomi característic és Plantilla:Math (l'únic valor propi és Plantilla:Mvar, i el grau del polinomi característic és sempre igual a la dimensió de l'espai). El polinomi mínim sempre divideix el polinomi característic, que és una manera de formular el teorema de Cayley-Hamilton (per al cas de matrius sobre un camp).

Definició formal

Donat un endomorfisme Plantilla:Mvar en un espai vectorial de dimensió finita Plantilla:Mvar sobre un camp Plantilla:Math, sigui Plantilla:Math el conjunt definit com

${𝐼}_T=\{p\in 𝐅[t]\mid p(T)=0\},$

on Plantilla:Math és l'espai de tots els polinomis sobre el camp Plantilla:Math. Plantilla:Math és un ideal propi de Plantilla:Math. Com que Plantilla:Math és un camp, Plantilla:Math és un domini ideal principal, per tant qualsevol ideal és generat per un únic polinomi, que és únic fins a una unitat en Plantilla:Math. Es pot fer una elecció particular entre els generadors, ja que precisament un dels generadors és monic. Així, el polinomi mínim es defineix com el polinomi mònic que genera Plantilla:Math. És el polinomi mònic de grau mínim en Plantilla:Math.

Aplicacions

Un endomorfisme Plantilla:Mvar d'un espai vectorial de dimensions finites sobre un camp Plantilla:Math és diagonalitzable si i només si el seu polinomi mínim factoritza completament sobre Plantilla:Math en factors lineals diferents. El fet que només hi hagi un factor Plantilla:Math per a cada valor propi Plantilla:Mvar significa que l'espai propi generalitzat per a Plantilla:Mvar és el mateix que l'espai propi per a Plantilla:Mvar: cada bloc de Jordan té una mida Plantilla:Math. De manera més general, si Plantilla:Mvar compleix una equació polinòmica Plantilla:Math on Plantilla:Mvar factor en diferents factors lineals sobre Plantilla:Math, llavors serà diagonalitzable: el seu polinomi mínim és un divisor de Plantilla:Mvar i, per tant, també factor en diferents factors lineals. En concret un té:

• P = X k − 1: els endomorfismes d'ordre finit d'espais vectorials complexos són diagonalitzables. Per al cas especial k = 2 d'involucions, això és fins i tot cert per als endomorfismes d'espais vectorials sobre qualsevol camp de característica diferent de 2, ja que X 2 − 1 = (X − 1)(X + 1) és una factorització en diferents factors. sobre un camp així. Aquesta és una part de la teoria de la representació de grups cíclics.
• P = X 2 − X = X(X − 1): els endomorfismes que compleixen φ2 = φ s'anomenen projeccions, i sempre són diagonalitzables (a més, els seus únics valors propis són 0 i 1).
• Per contra, si μφ = X k amb k ≥ 2, llavors φ (un endomorfisme nilpotent) no és necessàriament diagonalitzable, ja que X k té una arrel repetida 0.

Aquests casos també es poden demostrar directament, però el polinomi mínim dóna una perspectiva i una demostració unificades.