Unió

Unió de dos conjunts A i B

La unió és una operació entre conjunts. Aquesta operació crea el conjunt, anomenat conjunt unió o conjunt reunió, format pels elements que pertanyen almenys a un dels conjunts que s'uneixen. S'expressa amb el símbol $\cup$.

Per exemple:

Donat $A=\{a,e,i,s\}$ i $B=\{a,e,f,h\}$, si definim $C=A\cup B$, llavors $C=\{a,e,i,s,f,h\}$. $C=A\cup B$ es llegeix: el conjunt C és igual a la unió dels conjunts A i B. També es pot llegir: C és el conjunt unió dels conjunts A i B.

Propietats de la unió

Propietat idempotent

Quan unim un conjunt amb si mateix, el conjunt unió és el mateix conjunt.

$A\cup A=A$

Element neutre

El conjunt buit $\mathrm{\varnothing }$ és l'element neutre de la unió.

$A\cup \mathrm{\varnothing }=A$

Propietat commutativa

El conjunt unió resultant és indiferent a l'ordre amb què s'uneixen els conjunts.

$A\cup B=B\cup A$

Propietat associativa

El conjunt unió resultant quan unim més de dos conjunts, és indiferent a la jerarquia amb què es facin les unions.

$A\cup B\cup C=(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$

Unió de complementaris

Si tenim un conjunt $A$ i el seu complementari $\bar{A}$, respecte d'un conjunt $R$, $R$ és el conjunt unió de $A$ i $\bar{A}$.

$A\cup \bar{A}=R$

Unió de subconjunts

Si unim un conjunt A amb un subconjunt B, el conjunt unió és A.

Si tenim els conjunts A i B tal que $A\supset B$ (A inclou B), llavors $A\cup B=A$

Relacions entre la unió i la intersecció: propietat distributiva

La unió i la intersecció es poden relacionar mitjançant la propietat distributiva. Existeixen dues possibles versions d'aquesta propietat.

• La unió d'un conjunt amb un conjunt intersecció és igual a unir el primer conjunt amb els diferents conjunts que formen el conjunt intersecció, i fer la intersecció entre tots els conjunts unió resultants. És molt més entenedor escrit simbòlicament:

$A\cup (B\cap C\cap D...)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\cap (A\cup D)$ ...

• També es pot aplicar aquesta propietat intercanviant les interseccions i les unions:

$A\cap (B\cup C\cup D...)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\cup (A\cap D)$ ...

Vegeu també

• Teoria de conjunts

Enllaços externs

• Union of Sets. Math Goodies Plantilla:En