Teorema de Schrödinger-HJW

En teoria de la informació quàntica i òptica quàntica, el teorema de Schrödinger-HJW és un resultat sobre la realització d'un estat mixt d'un sistema quàntic com un conjunt d'estats quàntics purs i la relació entre les purificacions corresponents dels operadors de densitat. El teorema rep el nom dels físics i matemàtics Erwin Schrödinger, Lane P. Hughston, Richard Jozsa i William Wootters. El resultat també va ser trobat de manera independent (encara que parcialment) per Nicolas Gisin, i per Nicolas Hadjisavvas basant-se en el treball d'Ed Jaynes, mentre que una part significativa d'ell també va ser descoberta independentment per N. David Mermin. Gràcies a la seva complicada història, també és conegut amb altres noms com ara el teorema GHJW, el teorema HJW i el teorema de purificació.

Purificació d'un estat quàntic mixt

Deixa ${\mathscr{H}}_S$ ser un espai de Hilbert complex de dimensions finites i considerar un estat quàntic genèric (possiblement mixt). $\rho$ definit a ${\mathscr{H}}_S$ i admetent una descomposició de la forma $$\rho =\sum _i{p}_i|{\varphi }_i⟩⟨{\varphi }_i|$$ per a una col·lecció d'estats (no necessàriament mútuament ortogonals). $|{\varphi }_i⟩\in {\mathscr{H}}_S$ i coeficients $p_i\ge 0$ tal que $\sum _i{p}_i=1$. Tingueu en compte que qualsevol estat quàntic es pot escriure d'aquesta manera per a alguns $\{|{\varphi }_i⟩{\}}_i$ i $\{p_i{\}}_i$.

Qualsevol tal $\rho$ es pot purificar, és a dir, representat com la traça parcial d'un estat pur definit en un espai de Hilbert més gran. Més precisament, sempre és possible trobar un espai de Hilbert (de dimensions finites). ${\mathscr{H}}_A$ i un estat pur $|{\mathrm{\Psi }}_{SA}⟩\in {\mathscr{H}}_S\otimes {\mathscr{H}}_A$ tal que $\rho ={\mathrm{Tr}}_A(|{\mathrm{\Psi }}_{SA}⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_{SA}|)$. A més, els estats $|{\mathrm{\Psi }}_{SA}⟩$ satisfer això són tots i només els de la forma $$|{\mathrm{\Psi }}_{SA}⟩=\sum _i\sqrt{p_i}|{\varphi }_i⟩\otimes |a_i⟩$$ per alguna base ortonormal $\{|a_i⟩{\}}_i\subset {\mathscr{H}}_A$. L'estat $|{\mathrm{\Psi }}_{SA}⟩$ llavors s'anomena "purificació de $\rho$ ". Com que l'espai auxiliar i la base es poden triar arbitràriament, la purificació d'un estat mixt no és única; de fet, hi ha infinites purificacions d'un estat mixt determinat. Perquè tots admeten una descomposició en la forma indicada anteriorment, donat qualsevol parell de purificacions $|\mathrm{\Psi }⟩,|{\mathrm{\Psi }}^{\prime }⟩\in {\mathscr{H}}_S\otimes {\mathscr{H}}_A$, sempre hi ha alguna operació unitària $U:{\mathscr{H}}_A\to {\mathscr{H}}_A$ tal que $$|{\mathrm{\Psi }}^{\prime }⟩=(I\otimes U)|\mathrm{\Psi }⟩.$$

Teorema

Cal considerar un estat quàntic mixt $\rho$ amb dues realitzacions diferents com a conjunt d'estats purs com $\rho =\sum _i{p}_i|{\varphi }_i⟩⟨{\varphi }_i|$ i $\rho =\sum _j{q}_j|{\phi }_j⟩⟨{\phi }_j|$. Aquí tots dos $|{\varphi }_i⟩$ i $|{\phi }_j⟩$ no se suposa que són mútuament ortogonals. Hi haurà dues purificacions corresponents de l'estat mixt $\rho$ lectura de la següent manera:

Purificació 1: $|{\mathrm{\Psi }}_{SA}^1⟩=\sum _i\sqrt{p_i}|{\varphi }_i⟩\otimes |a_i⟩$ ;

Purificació 2: $|{\mathrm{\Psi }}_{SA}^2⟩=\sum _j\sqrt{q_j}|{\phi }_j⟩\otimes |b_j⟩$.

Els conjunts $\{|a_i⟩\}$ i $\{|b_j⟩\}$ són dues col·leccions de bases ortonormals dels respectius espais auxiliars. Aquestes dues purificacions només es diferencien per una transformació unitària que actua sobre l'espai auxiliar, és a dir, existeix una matriu unitària $U_A$ tal que $|{\mathrm{\Psi }}_{SA}^1⟩=(I\otimes U_A)|{\mathrm{\Psi }}_{SA}^2⟩$. Per tant, $|{\mathrm{\Psi }}_{SA}^1⟩=\sum _j\sqrt{q_j}|{\phi }_j⟩\otimes U_A|b_j⟩$, el que significa que podem realitzar els diferents conjunts d'un estat mixt només fent diferents mesures sobre el sistema de purificació.