Integral de Riemann-Liouville

Plantilla:CàlculEn matemàtiques, la integral de Riemann-Liouville s'associa amb una funció real $f:ℝ\to ℝ$ una altra funció Plantilla:Math del mateix tipus per a cada valor del paràmetre Plantilla:Math. La integral és una manera de generalització de l'antiderivada repetida de Plantilla:Mvar en el sentit que per a valors enters positius de Plantilla:Mvar, Plantilla:Math és una antiderivada iterada de Plantilla:Mvar d'ordre Plantilla:Mvar. La integral de Riemann-Liouville rep el nom de Bernhard Riemann i Joseph Liouville, el darrer dels quals va ser el primer a considerar la possibilitat del càlcul fraccionari el 1832. L'operador està d'acord amb la transformada d'Euler, després de Leonhard Euler, quan s'aplica a funcions analítiques. Va ser generalitzat a dimensions arbitràries per Marcel Riesz, que va introduir el potencial de Riesz.

Motivació

La integral de Riemann-Liouville està motivada per la fórmula de Cauchy per a la integració repetida. Per a una funció Plantilla:Mvar contínua a l'interval [ Plantilla:Mvar, Plantilla:Mvar ], la fórmula de Cauchy per a la integració repetida Plantilla:Mvar cops estableix que

$$I^{n}f(x)=f^{(-n)}(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t.$$

Ara, aquesta fórmula es pot generalitzar a qualsevol nombre real positiu substituint l'enter positiu Plantilla:Mvar per Plantilla:Mvar, Per tant, obtenim la definició de la integral fraccional de Riemann-Liouville per

$I^{\alpha }f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{\alpha -1}f(t)\mathrm{d}t$

Definició

La integral de Riemann-Liouville es defineix per

$I^{\alpha }f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)(x-t{)}^{\alpha -1}dt$

on Plantilla:Math és la funció gamma i Plantilla:Mvar és un punt base arbitrari però fix. La integral està ben definida sempre que Plantilla:Mvar sigui una funció integrable localment i Plantilla:Mvar sigui un nombre complex en el semipla Plantilla:Math. La dependència del punt base Plantilla:Mvar és sovint suprimida, i representa una llibertat en constant d'integració. És evident que Plantilla:Math és una antiderivada de Plantilla:Mvar (de primer ordre), i per a valors enters positius de Plantilla:Mvar, Plantilla:Math és una antiderivada d'ordre Plantilla:Mvar per fórmula de Cauchy per a la integració repetida. Una altra notació, que emfatitza el punt base, és

${}_a{D}_x^{-\alpha }f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)(x-t{)}^{\alpha -1}dt.$

Això també té sentit si Plantilla:Math, amb restriccions adequades a Plantilla:Mvar.

Les relacions fonamentals es mantenen

$\frac{d}{dx}{I}^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),I^{\alpha }(I^{\beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,$

l'últim dels quals és una propietat semigrup. Aquestes propietats fan possible no només la definició de la integració fraccionària, sinó també de la diferenciació fraccionària, prenent prou derivades de Plantilla:Math.