Matriu transposada

Exemple de transposició d'una matriu 3×2

Si A denota una matriu de n × m elements:

$A=(a_{i,j})=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}& \cdots & a_{1,m}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& \cdots & a_{2,m}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}& \cdots & a_{3,m}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& a_{n,3}& \cdots & a_{n,m}\end{array}\right)\in {ℳ}_{n\times m}$

aleshores la permutació de files per columnes o viceversa, en la matriu A, produeix la seva matriu transposada A^⊤:

$A^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{1,1}& a_{2,1}& a_{3,1}& \cdots & a_{n,1}\\ a_{1,2}& a_{2,2}& a_{3,2}& \cdots & a_{n,2}\\ a_{1,3}& a_{2,3}& a_{3,3}& \cdots & a_{n,3}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1,m}& a_{2,m}& a_{3,m}& \cdots & a_{n,m}\end{array}\right)\in {ℳ}_{m,n}$

A serà una matriu simètrica, si i només si, n = m i A^⊤ = A.

Observació sobre la notació. Alguns autors també denoten per $A^{\prime }$ la matriu transposada de la matriu $A$.

Propietats

Siguin A i B matrius adequades per a les següents operacions, sabem que:

• (A^⊤)^⊤ = A
• (A + B)^⊤ = A^⊤ + B^⊤
• Per a qualsevol escalar r, (r⋅A)^⊤ = r⋅A^⊤
• (A⋅B)^⊤ = B^⊤⋅A^⊤

Algorisme

En C++

 typedef vector< vector<int> > Matriu;

 void intercanvia(int& x, int& y){
 x ^= y;
 y ^= x; 
 x ^= y;
 }

 void transposar (Matriu& m){
 int s = m.size(); 
 for(int i = 0;i < s; ++i){
 for(int j = 0; j < i; ++j){
 intercanvia(m[i][j],m[j][i]); 
 }
 }
 }