Vector (física)

Plantilla:Fusió a En física un vector és un concepte matemàtic i un segment orientat que s'utilitza per descriure magnituds tals com velocitats, acceleracions o forces, en les quals és important considerar no només el valor sinó també la direcció i el sentit. Es representa per un segment orientat per denotar el seu sentit, la seva magnitud (la longitud de la fletxa) i el punt d'aplicació.

Un vector de A a B

Propietats

Els vectors es poden representar amb lletres, amb una fletxa damunt, així: $\overrightarrow{a}$.

Un vector té les següents propietats:

-Punt d'aplicació, és l'origen del segment.

-Mòdul, expressa el valor numèric de la magnitud vectorial. Es representa per la longitud del segment, sempre en valor absolut. Per exemple, si es vol expressar que el mòdul de $\overrightarrow{a}$ val 5 unitats, es fa així: $|\overrightarrow{a}|=5u$.

-Direcció, que és la del segment. A la recta que conté el vector se l'anomena línia d'acció.

-Sentit, distingeix dos sentits sobre la línia d'acció.

Es diu que dos vectors són concurrents quan tenen el mateix punt d'aplicació.

Un vector oposat a un altre és el que té el mateix punt d'aplicació, mòdul i direcció però sentit contrari. Així el vector oposat a $\overrightarrow{a}$ és $-\overrightarrow{a}$.

Expressat amb les fórmules, donat un vector $\overrightarrow{r}$ de coordenades (x,y,z) $\overrightarrow{r}=(x,y,z)$) el seu mòdul és $|\overrightarrow{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. La seva direcció està donada per la recta que conté el vector i el sentit pot ser cap a un costat o cap a l'altre.

També es pot separar un vector en mòdul i donar la direcció i sentit amb un vector unitari que es calcula com: $\overrightarrow{r_U}=\frac{x_i+y_j+z_k}{|\overrightarrow{r}|}$, essent i,j,k els vectors (1,0,0), (0,1,0)i (0,0,1) respectivament.

Suma i resta de vectors

Mètode gràfic

La suma gràfica de dos vectors: a i b

Per la suma i resta de vectors s'ha de tenir en compte, a més a més de la magnitud escalar o mòdul, el sentit i la direcció dels vectors.

Mètode analític

Mòdul resultant

Donats dos vectors $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$, de mòduls coneguts i que formen l'angle $\theta$ entre si, es pot obtenir el mòdul $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$ amb la següent fórmula:

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{{|\overrightarrow{a}|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+2|\overrightarrow{a}|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \theta }$

Obtenció de la Direcció

Per obtenir els angles $\alpha ,\beta$ directors hem de conèixer l'angle $\theta$ i tenir calculat $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$ .

Podem emprar aquesta fórmula:

$\frac{|\overrightarrow{b}|}{\sin \alpha }=\frac{|\overrightarrow{a}|}{\sin \beta }=\frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{\sin \theta }$

Amb la fórmula obtindrem els sinus, després per trobar l'angle a partir del sinus hem de tenir en compte que:

$\alpha +\beta =\theta$

Angle entre dos vectors

Per calcular l'angle entre dos vectors s'empra la següent fórmula:

$\cos \theta =\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{ab}$

El qual es pot generalitzar a qualsevol dimensió:

$\cos \theta =\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3+...+a_n{b}_n}{ab}$

Quan es tracta algebraicament en un espai vectorial l'angle entre dos vectors està donat per:

$\cos \theta =\frac{|<a,b>|}{||a||.||b||}$

Essent <,> el producte escalar definit dins el mateix espai vectorial.

Vegeu també

• Vector (Matemàtiques)
• Espai vectorial
• Mòdul vectorial
• Producte escalar
• Producte vectorial
• Pseudovector

Enllaços externs

• Juga amb vectors Plantilla:Webarchive Plantilla:Es