Resurgència

En A.Hurwitz va plantejar, en el seu quadern, en data del 6 de desembre 1918, la pregunta de si era possible que una sèrie de potències

$h(\xi )=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(\xi -{\xi }_0{)}^k,$

representant una funció diferent de $\xi \mapsto c{e}^{\xi }$, admetés continuació analítica al llarg d'un camí tancat $\gamma$ al voltant de ${\xi }_0$ i, a la fi de la continuació, prengués la forma

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{a}_k(\xi -{\xi }_0{)}^{k-1}=h^{\prime }(\xi ),$ és a dir, es pot continuar analíticament una funció holomorfa cap a la seva derivada?

La solució de Lewy

En H.Lewy va respondre afirmativament, i va donar una solució del problema que presentem aquí en una forma lleugerament modificada.

Es consideri la funció: $h(z)=\underset{{ℝ}^{+}}{\int }\exp [-zt-(\log t{)}^2/4\pi i]dt;$ $h$ és holomorfa per $\mathrm{\Re }(z)>0$ i pot ser continuada analíticament als semiplans $\mathrm{\Re }(z{e}^{-i\vartheta })>0(\vartheta \in {ℝ}^{+})$, de la manera següent: sigui $N\in \mathbb{N}$ tal que $0<\vartheta /N<\pi /2$ i fem $\eta :=\vartheta /N$.

Escrivim, per a $z\in \{\mathrm{\Re }(z{e}^{-i\eta })>0\}\bigcup \{\mathrm{\Re }(z)>0\}$,

$h(z)=\underset{{ℝ}^{+}}{\int }\exp [z{e}^{-i\eta }{e}^{i\eta }t-\frac{\log (e^{-i\eta }{e}^{i\eta }t{)}^2}{4\pi i}]dt$

$=\underset{e^{i\eta }{ℝ}^{+}}{\int }\exp [-z{e}^{-i\eta }u-\frac{(\log (u)-i\eta {)}^2}{4\pi i}]e^{-i\eta }du$

$=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\{\underset{0}{\overset{R}{\int }}\exp [-z{e}^{-i\eta }u-\frac{(\log (u)-i\eta {)}^2}{4\pi i}]e^{-i\eta }du+$

$+\underset{{\gamma }_R}{\int }\exp [-z{e}^{-i\eta }u-\frac{(\log (u)-i\eta {)}^2}{4\pi i}]e^{-i\eta }du\}.$

Aquesta darrera integral, que anomenem $I_2$, ha de ser calculada sobre la corba ${\gamma }_R:[0,1]\to ℂ$ definida en posar $\gamma (t):=R{e}^{i\theta }$.

Hom ha $I_2\le C_1{R}^{\alpha }{e}^{-C_{2}R}$ per a unes constants reals positives $C_1$, $C_2$ i $\alpha$, car $I_2$ tendeix a $0$ quan $R\to \mathrm{\infty }$.

Així per a $z\in \{\mathrm{\Re }(z{e}^{-i\eta })>0\}\bigcap \{\mathrm{\Re }(z)>0\}$ hom ha $h(z)=\underset{{ℝ}^{+}}{\int }\exp [-z{e}^{-i\eta }u-\frac{(\log (u)-i\eta {)}^2}{4\pi i}]e^{-i\eta }du;$ però aquesta darrera integral convergeix en $\mathrm{\Re }(z{e}^{-i\eta })>0$ i, doncs, hi defineix una continuació analítica de $h$. Repetim el procediment $N$ vegades: això ens dona finalment una continuació analítica de $h$ al semiplà $\mathrm{\Re }(z{e}^{-i\vartheta })>0$; així doncs, $h$ pot ser continuada analíticament a tot punt $p\in ℂ\setminus \{0\}$.

Finalment, si fem la continuació analítica al llarg del camí $|z|=1,0\le \arg (z)\le 2\pi$, obtenim, designant $\hat{h}$ l'element de funció holomorfa obtingut (en un entorn de $z=1$) després una volta completa, $\hat{h}(z)=\underset{{ℝ}^{+}}{\int }\exp [-e^{2\pi i}zt-(\log t+2\pi i{)}^2/4\pi i]dt=$

$=\underset{{ℝ}^{+}}{\int }\exp [-zt-\frac{(\log t{)}^2-4{\pi }^2+4\pi i\log t}{4\pi i}]dt=$

$=\underset{{ℝ}^{+}}{\int }\exp [-zt-e^{2\pi i}t-(\log t{)}^2/4\pi i-\pi i+\log t]dt=$

$=\underset{{ℝ}^{+}}{\int }(-t)\exp [-zt-(\log t{)}^2/4\pi i]dt=h^{\prime }(z).$

Això acaba la presentació de la solució d'aquest problema.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-publicació

• Plantilla:Ref-llibre