Continuació analítica

En matemàtiques, i més concretament en anàlisi complexa, una extensió analítica (o continuació analítica) és una tècnica per ampliar el domini d'una funció analítica donada.

Introducció

Considerem un punt $p$ del pla complex i la sèrie de potències en $z-p$:

${\alpha }_0+{\alpha }_1(z-p)+{\alpha }_2(z-p{)}^2+{\alpha }_3(z-p{)}^3+...$

Aquesta sèrie de potències convergeix en un cert cercle $C_1$ de centre $p$ i, doncs, hi defineix una funció holomorfa $f$; escrivem $f_p$ per a posar en evidència el punt de desenvolupament.

Considerem un punt $q\in C_1$ i desenvolupem $f$ en sèrie de potències de $z-q$:

$f_q(z)={\beta }_0+{\beta }_1(z-q)+{\beta }_2(z-q{)}^2+{\beta }_3(z-q{)}^3+...$

Si és cas que el cercle de convergència $C_2$ d'aquesta darrera sèrie no sigui continugut en $C_1$, hom ha de fet obtingut una coneixença més ampla de $f$, mitjançant la definició: $f(z):=\{\begin{array}{cc}{f}_p(z)& \text{si}z\in C_1\\ f_q(z)& \text{si}z\in C_2\end{array}$

Aquesta definició és bé posada, perquè $z\in C_1\cap C_2\Rightarrow f_p(z)=f_q(z)$.

Direm que l'extenció de $f$ a $C_1\cup C_2$ així obtinguda és una continuació analítica (o també un prolongament analític) de $f_p:C_1\to ℂ$; direm també que $f_q:C_2\to ℂ$ és una continuació analítica de $f_p:C_1\to ℂ$ i viceversa.

Per exemple, es pot senzillament veure que les dues sèries de potències $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{2^{n+1}}(|z|<2)$ i $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z-i{)}^n}{(2-i{)}^{n+1}}(|z-i|<\sqrt{5})$ són cadascuna una continuació analítica de l'altra. Notem que totes dues representen la funció $z\mapsto 1/(2-z)$. Més en general, si és cas que $f$, definida a priori dins un conjunt obert $U\subset ℂ$, es pugui restringir a un conjunt obert $V\subset U$ i successivament $f{|}_V$ pugui ésser prolongada a un conjunt obert $W\subset ̸U$, direm que la nova funció obtenida es una continuació analítica de $f$.

Les definicions bàsiques

Un element de funció 1holomorfa és un parell $(U,f)$, on $U$ és un conjunt obert a connexió simple del pla complex, $f:U\to ℂ$ una funció holomorfa definida en $U$, que pren valors en $ℂ$. Dos elements $(U,f)$ i $(V,g)$ són conectables si existeix una successió finita

${\{(U_j,f_j)\}}_{j=0,....,n}$,

tal que $(U_0,f_0)=(U,f)$, $(U_n,f_n)=(V,g)$ i, per a tot $j=0,....,n-1$,

$\{\begin{array}{cc}& U_j\cap U_{j+1}=\mathrm{\varnothing },\\ & f_{j+1}{|}_{U_j\cap U_{j+1}}=f_j{|}_{U_j\cap U_{j+1}}.\end{array}$

Direm que $\{(U_i,f_i){\}}_{i=0...n}$ és una continuació analítica de $(U,f)$ (o de $(V,g)$). Direm també, si no hi ha possibilitat de confusió, que cada element és una continuació analítica de $(U,f)$ (o de $(V,g)$). Els elements ${\{(U_j,f_j)\}}_{j=0,....,n}$ es diran enllaçats.

Una continuació analítica al llarg d'un camí $\gamma :[0,1]\to ℂ$ (per a senzillesa suposem que $\gamma$ sigui $C^1$ a trets) és una continuació analítica $\{(U_i,f_i){\}}_{i=0...n}$ tal que $\bigcup _{i=0}^n{U}_i\supset \gamma ([0,1])$.

Cal sens dubte recordar que la continuació analítica al llarg d'un camí tancat no conserva pas, en general, els valors de la funció en un entorn del punt de partida: es tingui en compte, per exemple, la determinació $\phi$ de la funció 'arrel quadrada complexa', en un entorn de $1$, tal que $\phi (1)=1$.

Es pot veure $\phi$, en coordenades polars, com a l'aplicació que envia $\varrho \exp (i\vartheta )$ cap a $\sqrt{\varrho }\exp (i\vartheta /2)$, on $\sqrt{}$ indica l'operació d'arrel quadrada real positiva. Intu\"\i tivament, continuem $\phi$ al llarg de la circumferència unitat: després una volta compleda, és a dir un increment de $\vartheta$ igual a $2\pi$, obtenim un nou element de funció holomorfa $\psi$ en un entorn de $1$, que ha redu\"\i t a meitat l'increment de $2\pi$ l'argument de $z$.

Doncs, $\arg (\psi (z))=\arg (\phi (z))+\pi$, és a dir $\phi =-\psi$. Naturalment, una altra volta de $2\pi$ ens porta de bell nou a l'element de partida $\phi$.

Es pot veure que el conjunt de les continuacions analítiques d'un mateix element forma de manera natural una superfície de Riemann, anomenada superfície de Riemann de l'element o també continuació analítica maximal, que existeix gràcies al Lema de Zorn.

Formació de fronteres naturals

Considerem un element de funció holomorfa $(U,f)$: pot succeir que, per a cada restricció $(V,g)$ de $(U,f)$ (és a dir, $V\subset U$ i $g=f{|}_V$) no existeixi cap continuació analítica $(W,h)$ de $(V,g)$ tal que $W\cap U\subset ̸U$. Si és cas, direm que $\partial U$ és una frontera natural per a l'element $(U,f)$. Considerem per exemple la série de potències

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{2^n}=1+z^2+z^4+z^8+...$:

gràcies al teorema de Cauchy-Hadamard ella convergeix dins el disc $|z|<1$, i, doncs, hi defineix una funció holomorfa $h$. De més, $h(z)\to \mathrm{\infty }$ llavors que $z\to 1$ al llarg de l'eix real. Puix que $h(z^2)=1+z^4+z^8+z^{16}+...=h(z)-z^2$ hom ha $\underset{z\to -1,z\in ℝ}{\lim }h(z)=$ $\underset{z\to -1,z\in ℝ}{\lim }(z^2+h(z^2))=\mathrm{\infty }$.

De la mateixa manera, $h(z)=z^2+z^4+h(z^4)$, ja que $h\to \mathrm{\infty }$ llavors que $z\to \pm i$ al llarg de l'[[eix imaginari]]; de manera general, $h(z)=z^2+...+z^{2^n}+h(z^{2^n})$, per a tot nombre natural $n$, ja que $h\to \mathrm{\infty }$ llavors que $z\to \exp (2k\pi /2^n)$ al llarg d'un radi del disc.

El conjunt dels punts de la forma $\exp (2k\pi /2^n),k,n\in \mathbb{Z}$ és dens dins el cercle $𝕋=\{|z|=1\}$, ja que $h$ no admet cap continuació analítica a algun punt d'aquesta corba: ella és, doncs, una frontera natural.

Observem que $h$ pot tampoc ser continuada als punts de $𝕋$ com a funció meromorfa, perquè, en aquest cas, $1/h$ s'anul$\cdot$laria en un conjunt amb un punt d'acumulació i seria, doncs, idènticament zero.