Continuació analítica maximal

La continuació analítica maximal és una formalització més abstracta de la noció de continuació analítica.

Sigui $𝕊$ l'esfera de Riemann; una superfície de Riemann regular sobre un conjunt obert $\mathrm{\Omega }\subset 𝕊$ és un parell $(R,p)$ on $R$ és una superfície de Riemann (és a dir, una varietat complexa de dimensió 1) i $p:R\to \mathrm{\Omega }$ és un biholomorfisme local exhaustiu. Una continuació analítica regular d'un element de funció holomorfa consisteix en una superfície de Riemann regular sobre un conjunt obert $\mathrm{\Omega }\subset 𝕊$ tal que $U\subset \pi (S)$, en una immersió holomorfa $j:U\to S$ tal que $\pi \circ j=id{|}_U$ i en una funció holomorfa $F:S\to 𝕊$ tal que $F\circ j=f$.

Un morfisme entre dues continuacions analítiques $(S,\pi ,j,F)$ i $(T,\varrho ,\ell ,G)$ del mateix element $(U,f)$ és una funció holomorfa $h:T\to S$ tal que $h\circ \ell =j$.

Un tal morfisme és una funció no constant, unívocament determinada en $j(U)$, (i per tant en tot $S$) mitjançant $\ell \circ j^{-1}$. A més, $\varrho \circ h=\pi$ i $G\circ h=F$ en $j(U)$ i, per tant, en tot $S$.

L'únic morfisme entre una continuació analítica i ella mateixa és la identitat, la composició de dos morfismes també és un morfisme; si un morfisme admet una funció holomorfa com a inversa, ella és també un morfisme: en tal cas, parlem d'un isomorfisme de continuacions analítiques.

Definició: una continuació analítica $S$ de l'element $(U,f)$ és maximal si, per a cada continuació $\hat{S}$ de $(U,f)$ existeix un morfisme $h:S\to \hat{S}$.

És de remarcar que dues continuacions maximals del mateix element són necessàriament isomorfes, ja que la continuació analítica maximal és única llevat d'isomorfismes.

Teorema: cada element $(U,f)$ de funció holomorfa té una continuació analítica maximal $Q:=(S,\pi ,j,F)$.

Demostració: siguin #$𝒰=\{(U_i,f_i){\}}_{i\in I}$ el conjunt format mitjançant els elements connectables amb $(U,f)$; #$S_0=\coprod _{i\in I}{U}_i$, ${\pi }_0=\coprod _{i\in I}id{|}_{U_i}$ i $F_0=\coprod _{i\in I}{f}_i$; #$j_0:U⟶S_0$ la immersió natural.

Introduïm una relació d'equivalència en $S_0$: $z_1\in U_{i_1}$ i $z_2\in U_{i_2}$ es diran equivalents si ${\pi }_0(z_1)={\pi }_0(z_2)$ i $f_{i_1}=f_{i_2}$ en un entorn de ${\pi }_0(z_1)={\pi }_0(z_2)$ en $U_{i_1}\cap U_{i_2}$.

Sigui $S$ el conjunt quocient i $q:S_0⟶S$ la projecció canònica: una base per a la topologia d'$S$ està formada pels $[U_i]:=\{q\left(U_i\right)\}$. Definim $j:U⟶S$, $\pi :S⟶{ℂ}^N$, $F:S⟶{ℂ}^N$ mitjançant $j=q\circ j_0$, $\pi (q(z))={\pi }_0(z)$ i $F\left(z_i\right)=f_i\left(z_i\right)$.

Aquestes aplicacions estan ben definides i són contínues; a més, $\pi$ és un homeomorfisme local.

L'espai topològic $S$ és Hausdorff: de fet, si $q\left(z_i\right)=q\left(z_j\right)$ i ${\pi }_0\left(z_i\right)={\pi }_0\left(z_j\right)$, considerem un entorn connex $V$ de ${\pi }_0\left(z_i\right)={\pi }_0\left(z_j\right)$, tal que $f_i$ i $f_j$ estiguin definits i siguin diferents en $V$. Siguin $V_i$ i $V_j$ les còpies disjuntes de $V$ en $U_i$ i de $U_j$ en $S_0$: es veu que $q\left(V_i\right)\cap q\left(V_j\right)=\mathrm{\varnothing }$. De fet, si hi hagués dos punts $w_i\in V_i$ i $w_j\in V_j$ tals que $q\left(w_i\right)=q\left(w_j\right)$, hi hauria també $f_i=f_j$ en un entorn de ${\pi }_0\left(w_i\right)={\pi }_0\left(w_j\right)$, ja que en $V$, això és una contradicció.

L'espai $S$ és connex, perquè per a tot parell de punts $p_1,p_2$ amb $p_1\in [U^{\prime }]$ i $p_2\in [U^{\prime \prime }]$, existeix una cadena $𝒦=\{U_{i_0},U_{i_1},\dots ,U_{i_n}\}$ de conjunts oberts connexos no buits, tals que, per a tot $k=0,....,n-1$, $U_{i_k}\cap U_{i_{k+1}}=\mathrm{\varnothing }$, i tals que $U_{i_0}=U^{\prime }$ i $U_{i_n}=U^{\prime \prime }$. Per tant, el conjunt obert $[U_{i_0}]\cup \cdots \cup [U_{i_n}]$ és connex i conté $p_1$ i $p_2$.

Puix que $q$ és un homeomorfisme local entre $U_i$ i $q\left(U_i\right)$, l'espai $S$ és connex; però també $\pi :S⟶ℂ$ és un homeomorfisme local, ja que pel teorema de Poincaré-Volterra (Narasimhan pag.25), també $S$ és de base numerable.

L'atles ${\left\{([U_i],\pi {|}_{[U_i]})\right\}}_{i\in I}$ defineix una estructura complexa en $S$, perquè per a tot parell $[U_i],[U_j]$ de mapes locals que se superposen, l'aplicació de transició $\pi {|}_j\circ \pi {|}_i^{-1}$ és la identitat d'un conjunt obert de $U_i\cap U_j$.

Per a aquesta estructura, les aplicacions $\pi ,j,F$ són holomorfes per construcció, ja que $(S,\pi ,j,F)$ és una continuació analítica de $(U,f)$.

Es pot demostrar que aquesta continuació és maximal: sigui $(T,\varrho ,\ell ,G)$ una continuació analítica de $(U,f)$: podem construir un recobriment obert de $R$ mitjançant uns $\{V_i\}$ tals que, per a tot $i$, $\varrho {|}_{\{V_i\}}$ és biholomorfa; llavors el parell $(\varrho (V_i),G\circ \varrho {|}_{V_i}^{-1})$ és un element de funció holomorfa connectable amb $(U,f)$.

Definim $h_i:V_i⟶S$ mitjançant $h_i=q\circ \varrho {|}_{V_i}$: si $V_i\cup V_j=\mathrm{\varnothing }$, $h_i=h_j$ en $V_i\cup V_j$, per tant les definicions locals s'enllacen per definir una aplicació holomorfa $h:T\to S$ tal que $h\circ \ell =j$.

Vegeu també

• Continuació analítica

Referències

Narasimhan: Raghavan Narasimhan, 'Several complex variables' The university of Chicago Press, Chigago