Distribució de probabilitat composta

En Probabilitat i Estadística, l'expressió distribució de probabilitat composta té principalment dues accepcions: la més habitual la considera equivalent a mixtura de probabilitats, és a dir, informalment, una distribució de probabilitat que depèn d'un paràmetre, el qual també és una variable aleatòria. La segona es refereix a la distribució d'una suma d'un nombre aleatori de variables aleatòries independents, totes amb la mateixa distribució; Johnson et al. les anomenen distribucions de suma aturada (stopped sum distribution) i dediquen tot un capítol al cas que les variables siguin discretes.

Atès que hi ha un article dedicat a les mixtures de distribucions de probabilitat, en el present article tractarem breument de la segona accepció. Un exemple especialment important és la distribució de Poisson composta que, des del punt de vista aplicat, s'utilitza com a model del total de reclamacions en un període de temps d'una companyia d'assegurances o, des del punt de vista teòric, és una peça clau en l'estudi de les distribucions infinitament divisibles i els processos de Lévy.

Definició

Considerem una successió $Y_1,Y_2,\dots$ de variables aleatòries independents, totes amb la mateixa distribució. Definim $$\begin{array}{cc}{S}_0& =0,\\ S_n& =Y_1+\cdots +Y_n,n\ge 1.\end{array}$$La successió $Y_1,Y_2,\dots$ s'anomena una passejada aleatòria.

Sigui $N$ una variable aleatòria que pren valors 0, 1, 2,... amb probabilitats $$P(N=j)=p_j,j\ge 0,$$independent de $Y_1,Y_2,\dots$ La distribució de la variable aleatòria $$X=S_N$$ s'anomena distribució de probabilitat composta (compound probability distribution). Vegeu també.

Exemple. La distribució de Poisson composta

El cas més important és quan $N$ té una distribució de Poisson i aleshores la distribució de $S_N$ s'anomena distribució de Poisson composta (compound Poisson distribution) (Nota: alguns autors també suposen que $P(Y_1=0)=0$).

Funció de distribució i funció característica d'una distribució composta

La funció de distribució d'una distribució de probabilitat composta, que designarem per $F_X$ , es calcula mitjançant el teorema de les probabilitats totals i la independència entre $N$ i $Y_1,Y_2,\dots$: $$F_X(t)=P(X\le t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}P(S_N\le k|N=k)P(N=k)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}P(S_k\le k|N=k)P(N=k)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_k{F}_k(t),$$on $F_k$ és la funció de distribució de $S_k$, que és $$F_k(t)=F_Y^{*k}(t),$$on $*$ denota l'operació de convolució. Per tant, identifiquem una distribució de Poisson composta com una mixtura amb un nombre infinit numerable de components.

Si designem per ${\phi }_Y$ la funció característica comuna de $Y_1,Y_2,\dots$, i per ${\phi }_X$ la de $X$, aleshores, pel teorema de les esperances totals i la independència entre $N$ i $Y_1,Y_2,\dots$,$${\phi }_X(t)=E\left[e^{itX}\right]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}E(e^{it{S}_N}|N=k)P(N=k)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}E[e^{it{S}_k}]P(N=k)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}({\phi }_Y(t){)}^k{p}_k=E\left[\right({\phi }_Y(t){)}^N].$$En el cas de la funció de distribució de Poisson composta, si $N$ té paràmetre $\lambda$, és a dir, $N\sim \text{Poiss}(\lambda )$, aleshores la funció característica és $${\phi }_X(t)=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}({\phi }_Y(t){)}^k\frac{{\lambda }^k}{k!}=e^{\lambda ({\phi }_Y(t)-1)}.$$

ReferènciesPlantilla:Referències