Equació característica (càlcul)

Plantilla:Equacions DiferencialsEn matemàtiques, lPlantilla:'equació característica (o equació auxiliar ) és una equació algebraica de grau Plantilla:Mvar de la qual depèn la solució d'una equació diferencial d'ordre n donada o equació de diferència. L'equació característica només es pot formar quan l'equació diferencial o de diferència és lineal i homogènia, i té coeficients constants. Aquesta equació diferencial, amb Plantilla:Mvar com a variable dependent, superíndex Plantilla:Math que denota n-^ésima derivada i Plantilla:Math com a constants,$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0,$

tindrà una equació característica de la forma

$a_n{r}^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_0=0$

les solucions de les quals Plantilla:Math són les arrels a partir de les quals es pot formar la solució general. De manera anàloga, una equació de diferència lineal de la forma

$y_{t+n}=b_1{y}_{t+n-1}+\cdots +b_n{y}_t$

té una equació característica

$r^n-b_1{r}^{n-1}-\cdots -b_n=0,$

es discuteix amb més detall a Recurrència lineal amb coeficients constants # Solució a un cas homogeni.

Les arrels característiques (arrels de l'equació característica) també proporcionen informació qualitativa sobre el comportament de la variable l'evolució de la qual està descrita per l'equació dinàmica. Per a una equació diferencial parametritzada en el temps, l'evolució de la variable és estable si i només si la part real de cada arrel és negativa. Per a les equacions a diferència, hi ha estabilitat si i només si el mòdul de cada arrel és inferior a 1. Per als dos tipus d'equació, es produeixen fluctuacions persistents si hi ha almenys un parell d'arrels complexes.

El mètode d'integració d'equacions diferencials ordinàries lineals amb coeficients constants va ser descobert per Leonhard Euler, que va trobar que les solucions depenien d'una equació "característica" algebraica. Les qualitats de l'equació característica d'Euler van ser considerades més tard amb més detall pels matemàtics francesos Augustin-Louis Cauchy i Gaspard Monge.

Derivació

Començant amb una equació diferencial lineal homogènia amb coeficients constants Plantilla:Math ,

$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0,$

es pot veure que si Plantilla:Math, cada terme seria un múltiple constant de Plantilla:Math . Això resulta del fet que la derivada de la funció exponencial Plantilla:Math és múltiple de si mateix. Per tant, Plantilla:Math, Plantilla:Math i Plantilla:Math són tots múltiples. Això suggereix que certs valors de Plantilla:Mvar permetran múltiples d' Plantilla:Math per sumar a zero, resolent així l'equació diferencial homogènia. Per resoldre per Plantilla:Mvar, es pot substituir Plantilla:Math i les seves derivades a l'equació diferencial per obtenir

$a_n{r}^n{e}^{rx}+a_{n-1}{r}^{n-1}{e}^{rx}+\cdots +a_{1}r{e}^{rx}+a_0{e}^{rx}=0$

Des de Plantilla:Math mai pot ser igual a zero, es pot dividir, donant l'equació característica

$a_n{r}^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_0=0.$

Resolvant les arrels, Plantilla:Mvar, en aquesta equació característica, es pot trobar la solució general de l'equació diferencial. Per exemple, si Plantilla:Mvar té arrels iguals a 3, 11 i 40, aleshores la solució general serà $y(x)=c_1{e}^{3x}+c_2{e}^{11x}+c_3{e}^{40x}$, on $c_1$, $c_2$, i $c_3$ són constants arbitràries que s'han de determinar per les condicions de límit i/o inicials.

La resolució de l'equació característica de les seves arrels, Plantilla:Math, permet trobar la solució general de l'equació diferencial. Les arrels poden ser reals o complexes, així com diferents o repetides. Si una equació característica té parts amb arrels reals diferents, Plantilla:Mvar arrels repetides o Plantilla:Mvar arrels complexes corresponents a solucions generals de Plantilla:Math, Plantilla:Math i Plantilla:Math, respectivament, llavors la solució general de l'equació diferencial és

$y(x)=y_{\mathrm{D}}(x)+y_{{\mathrm{R}}_1}(x)+\cdots +y_{{\mathrm{R}}_h}(x)+y_{{\mathrm{C}}_1}(x)+\cdots +y_{{\mathrm{C}}_k}(x)$

amb constants Plantilla:Math.

Exemple

L'equació diferencial homogènia lineal amb coeficients constants

$y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y^{″}-20y^{\prime }-12y=0$

té l'equació característica

$r^5+r^4-4r^3-16r^2-20r-12=0$

Factoritzant l'equació característica

$(r-3)(r^2+2r+2{)}^2=0$

es pot veure que les solucions per a Plantilla:Mvar són les arrels simples diferents Plantilla:Math i les arrels complexes dobles Plantilla:Math. Això correspon a la solució general de valor real

$y(x)=c_1{e}^{3x}+e^x(c_2\cos x+c_3\sin x)+x{e}^x(c_4\cos x+c_5\sin x)$