Equació diofàntica

Una equació diofàntica és una equació per a la qual només es permeten solucions enteres. El seu nom fa referència al matemàtic grec Diofant d'Alexandria, un dels primers a estudiar aquest tipus de problemes.

A més del problema de trobar les solucions d'una equació diofàntica particular, no és evident la mateixa existència de les solucions. Existeix un algorisme general per a trobar les solucions d'una equació diofàntica de primer ordre, però no per a ordres superiors. Aquest problema general ha estat sense obtenir una resposta definitiva durant molts segles i David Hilbert l'inclogué com un dels seus famosos 23 problemes. El 1970, Yuri Matiyasevich demostrà finalment que és impossible obtenir una solució general per a una equació diofàntica d'ordre qualsevol.

Equació diofàntica de primer ordre

És una equació de la forma $ax+by=c$, i només té solució si $\mathrm{m}\mathrm{.}\mathrm{c}\mathrm{.}\mathrm{d}\mathrm{.}(a,b)|c$ (és a dir, si el màxim comú divisor de $a$ i $b$ també divideix $c$).

Resolució general

Les solucions d'aquesta equació són:

$x=r{c}^{\prime }-t{b}^{\prime }$

$y=s{c}^{\prime }+t{a}^{\prime }$

en què $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ representen $a/d,b/d,c/d$ i és $d=\mathrm{m}\mathrm{.}\mathrm{c}\mathrm{.}\mathrm{d}\mathrm{.}(a,b)$. $r$ i $s$ són les solucions enteres de l'equació $1=a^{\prime }r+b^{\prime }s$.

Exemple

A continuació, resoldrem l'equació $27x+51y=111$. En primer lloc, s'ha de comprovar que té solució: donat que el màxim comú divisor de 27 i 51 és 3, i 3 divideix 111, podem afirmar que sí que en té. Ara, resolent la identitat de Bézout $\frac{27}{3}r+\frac{51}{3}s=1$, d'on trobem una solució immediata que és $r=2,s=-1$. Per tant, la solució general serà:

$x=2\cdot 37-17t$

$y=-1\cdot 37+9t$

Alguns exemples

• ax + by = c: s'anomena identitat de Bézout. Aquestes equacions es poden resoldre completament i la primera solució coneguda es deu al matemàtic indi Brahmagupta.
• xⁿ + yⁿ = zⁿ: per a n = 2 hi ha infinites solucions (x,y,z), les tripletes pitagòriques. Per a valors superiors de n, l'últim teorema de Fermat n'assegura la inexistència de solucions.
• x² − n y² = 1: anomenada equació de Pell. Si n no és un quadrat perfecte, té infinites solucions que són una bona aproximació racional a l'arrel quadrada de n.
• $\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i{y}^{n-i}=c$, on $n\ge 3$ i $c\ne 0$: s'anomenen equacions de Thue i, en general, tenen solució.

Vegeu també

• Aryabhata II