DescripcióJ-inv-poincare.jpeg	Klein's J-invariant, modulus on Poincaré disk (600x600 pixels)
Data	22 de maig de 2005, 01:30 (original upload date)
Font	Transferred from en.wikipedia to Commons by Keyi.
Autor	en:user:Linas
Permís (Com reutilitzar aquest fitxer)	Aquest fitxer està subjecte a la llicència Creative Commons Reconeixement-CompartirIgual 3.0 No adaptada. Subjecte a l'avís legal. Sou lliure de: compartir – copiar, distribuir i comunicar públicament l'obra adaptar – fer-ne obres derivades Amb les condicions següents: reconeixement – Heu de donar la informació adequada sobre l'autor, proporcionar un enllaç a la llicència i indicar si s'han realitzat canvis. Podeu fer-ho amb qualsevol mitjà raonable, però de cap manera no suggereixi que l'autor us dóna suport o aprova l'ús que en feu. compartir igual – Si modifiqueu, transformeu, o creeu a partir del material, heu de distribuir les vostres contribucions sota una llicència similar o una de compatible amb l'original. Aquest avís de llicència s'ha afegit a aquest fitxer d'acord amb l'actualització de la llicència GFDL.http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/CC BY-SA 3.0Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0truetrue S'autoritza la còpia, la distribució i la modificació d'aquest document sota els termes de la llicència de documentació lliure GNU versió 1.2 o qualsevol altra versió posterior que publiqui la Free Software Foundation; sense seccions invariants, ni textos de portada, ni textos de contraportada. S'inclou una còpia d'aquesta llicència en la secció titulada GNU Free Documentation License. Subjecte a l'avís legal.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue

Linas at the English Wikipedia, el titular dels drets d'autor d'aquest treball, el public sota la següent llicència:

S'autoritza la còpia, la distribució i la modificació d'aquest document sota els termes de la llicència de documentació lliure GNU versió 1.2 o qualsevol altra versió posterior que publiqui la Free Software Foundation; sense seccions invariants, ni textos de portada, ni textos de contraportada. S'inclou una còpia d'aquesta llicència en la secció titulada GNU Free Documentation License.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue

The original description page is/was here. All following user names refer to en.wikipedia.

Klein's J-invariant, modulus on Poincaré disk (600x600 pixels)

This image shows the modulus |j| of the J-invariant ${\displaystyle j=g_{2}^{3}/\Delta }$ as a function on the Poincare disk. The Poincaré disk is a mapping of the upper half-plane to the unit disk by means of the Mobius transformation

${\displaystyle z={\frac {\tau -i}{\tau +i}}}$

where τ is the half-period ratio, that is, the coordinate on the upper half-plane. The left-right symmetry of this image corresponds to the ${\displaystyle \tau \to -1/\tau }$ symmetry of the J-invariant, as small values for the imaginary part of τ are mapped to z=−1 on the left hand side, while large values for the imaginary part of τ are mapped to z=+1 on the right side. The fundamental domain is a triangle spanning the two vertically oriented dots in the center, with the cusp at z=+1 on the right. The transformation ${\displaystyle \tau \to \tau +1}$ corresponds to walking the fundamental domain from dot to dot on the boundary of the largest red area on the right; the cusp z=+1 remains unchanged.

For a detailed description of other aspects of this picture, including the coloration, please refer to Image:J-inv-modulus.jpeg.

• See also Image:J-inv-real.jpeg for the real part.
• See also Image:J-inv-phase.jpeg for the phase.

It, and other related images, can be seen at http://www.linas.org/art-gallery/numberetic/numberetic.html

Created by Linas Vepstas User:Linas <linas@linas.org> on 21 May 2005 using custom software written entirely by Linas Vepstas.

Released under the Gnu Free Documentation License (GFDL) by Linas Vepstas.

	Aquest fitxer està subjecte a la llicència Creative Commons Reconeixement-CompartirIgual 3.0 No adaptada. Subjecte a l'avís legal.
	Sou lliure de: compartir – copiar, distribuir i comunicar públicament l'obra adaptar – fer-ne obres derivades Amb les condicions següents: reconeixement – Heu de donar la informació adequada sobre l'autor, proporcionar un enllaç a la llicència i indicar si s'han realitzat canvis. Podeu fer-ho amb qualsevol mitjà raonable, però de cap manera no suggereixi que l'autor us dóna suport o aprova l'ús que en feu. compartir igual – Si modifiqueu, transformeu, o creeu a partir del material, heu de distribuir les vostres contribucions sota una llicència similar o una de compatible amb l'original.
	Aquest avís de llicència s'ha afegit a aquest fitxer d'acord amb l'actualització de la llicència GFDL.http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/CC BY-SA 3.0Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0truetrue

S'autoritza la còpia, la distribució i la modificació d'aquest document sota els termes de la llicència de documentació lliure GNU versió 1.2 o qualsevol altra versió posterior que publiqui la Free Software Foundation; sense seccions invariants, ni textos de portada, ni textos de contraportada. S'inclou una còpia d'aquesta llicència en la secció titulada GNU Free Documentation License. Subjecte a l'avís legal.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue

• Weierstrass elliptic functions
• Eisenstein series
• Q-series